定义 1.2.1：设 \(A\) 是 \(n\) 个元素构成的集合，即 \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，若序列 \(a_1,a_2,\dots,a_r\) 是由来自 \(A\) 的 \(r\) 个元素构成的且彼此互不相同，则称序列 \(a_1,a_2,\dots,a_r\) 是 \(A\) 的一个 \(r\) 排列。
定义 1.2.2: \(n\) 个元素构成集合 \(A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\) 的 \(n\) 排列，称为 \(A\) 的全排列。
定义 1.2.3：设 \(n,r(n\geqslant r)\) 是正整数，\(P_n^r\) 表示从 \(n\) 个数拿出 \(r\) 个数构成的排列数。则
\(\begin{aligned}P_n^r&=n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)\\&=\dfrac{n!}{(n-r)!}\end{aligned}\)
推论：\(P_n^n=n!\)
例 1.2.1：求 \(n\) 个不同数 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 构成的 \(a_1\) 与 \(a_2\) 不相邻的全排列个数。
解：
设 \(a_1\) 与 \(a_2\) 不相邻的全排列集合为 \(A\)，则问题可以转化为求 \(|A|\)。
设 \(B\) 为全排列集合 \(B=A+C\)。其中 \(C\) 为 \(a_1\) 与 \(a_2\) 相邻的全排列构成的集合。
则 \(n!=|B|=|A|+|C|\)。
\(\therefore n!=|A|+2\times (n-1)!\)。
\(\begin{aligned}\therefore |A|&=n!-2\times(n-1)!\\&=n\times(n-1)!-2\times(n-1)!\\&=(n-2)\times(n-1)!\end{aligned}\)
例 1.2.2：设由 \(1,2,3,4,5,6\) 组成的，数字互不相通的四个偶数个数为 \(n\)，它们的和为 \(m\)，求 \(n,m\)。
解：
找偶数个位只能够是 \(2,4,6\)，剩余三位从剩下的五个数字选择排列，其排列数为 \(P_5^3\)，则
\(\begin{aligned}n&=3\times P_5^3\\&=3\times(5\times 4\times 3)\\&=180\end{aligned}\)
\(m=a_1+10a_2+100a_3+1000a_4\)，其中
\(a_1=(2+4+6)P_5^3=720\)，\(a_2=a_3=a_4=(1+3+5)\times P_4^2+(2+4+6)\times P_4^2=612\)。
\(\therefore m=720+612\times (10+100+1000)=680040\)。
原文：https://www.cnblogs.com/Eason-AC/p/Permutation-and-Combination-Part-1-2.html