04 -- 理想元件
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分析对象
基础线性元器件
电路分析的研究对象是电路模型, 它是由理想电路元件所构成的电路.
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电压源 Voltage Source |
-
电流源 Current Source | 源 -- 将其他形式的能量转换为电能
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电阻 Resistor | (主要)以热能的形式消耗电能的元件
-
受控源 Controlled Source | 输出值受到电路中其他值影响的源
Table. 1 Types for Controlled Sources
| Abbreviation |
Full Name |
别名 |
| VCVS |
Voltage Control Voltage Source |
|
| CCVS |
Current Control Voltage Source |
Trans-resistance(V/C) |
| VCCS |
Voltage Control Current Source |
Trans-conductance(C/V) |
| CCCS |
Current Control Current Source |
|
分析方法
电路约束
电路方程受限于元件本身的Voltage-Current Relationship, VCR. e.g. 欧姆定律,
\[R = \frac{V}{I}
\]
电路方程受限于元件的连接方式.
电路定律
基尔霍夫定律: 对于 集总参数 的电路,
\[\sum_{b=1}^m i(t)=0
\]
\[\sum_{b=1}^m u(t) =0
\]
其中涉及到的概念有,
集总参数 | 电路中任意两个端点的电压 和流入任一器件的电流 完全确定, 与器件的几何尺寸, 空间关系无关.
分布参数 | 与集总参数对应, 电路中的电压和电流是时间的函数, 而且与器件的几何尺寸和空间位置有关. e.g. 均匀传输线
Terminal 端 | 元件的一边, 也称端子
Port 端口 | 多个端子组成一个端口, 也用于连接
Device 支路 | 一个两端元件称为一条支路
Loop 回路 | 电路中由支路构成的闭合路径
Mesh 网孔 | 平面电路中不含有支路的回路
Node 结点 | 三条及三条以上支路的交点
电路方程
由\((1),(2),(3)\)式, 即可对电路列出方程进行求解, 途径见下.
分析过程
电阻等效
存在多个电阻的电路, 可以通过等效变换减少计算的复杂度,
\[R=R_1+R_2+\cdots+R_n
\]
串联电路电流一致, 元件上压降与电流成正比
\[G = G_1+G_2+\cdots+G_n
\]
并联电路电压一致, 元件上电流与电导成正比
其中涉及到的概念有,
电阻 | 表示元件对电流的阻碍程度; 关系式为\(R=V/I\) 单位为欧姆, \(\Omega\).
电导 | 表示元件对电流的导通程度; 关系式为\(G=I/V\) 单位为西门子, \(S\).
使用基尔霍夫方程, 可以得到结论,
\[\begin{align}
\Delta\textit{变}Y:\quad&R_Y &=& \frac{\Delta\textit{相邻电阻的乘积}}{\sum R_\Delta}\Y\textit{变}\Delta:\quad&G_\Delta&=& \frac{Y\textit{相邻电导的乘积}}{\sum G_Y}
\end{align}
\]
如果三个电阻相等, 则有\(R_\Delta = 3R_Y\)
补充: 电压源的串联结果是电压之和; 电流源的并联结果是电流之和.
方程个数
使用基尔霍夫求解时, 根据图论知识, 可以得到, 对于\(n\)结点, \(b\)支路的电路,
-
KCL的独立方程数为\(n-1\)个;
-
KVL的独立方程数为\(b-(n-1)\).
列方程方式
- Mesh Analysis 对每一个网孔设一个电路, 通过KVL列方程求解
- Node Analysis 对每一个结点设一个电压, 通过KCL列方程求解
电路定理
通过电路的性质, 简化分析的复杂度,
- 叠加定理 对于线性电路, 任一支路的电流/ 电压 都可以看作电路中每一个独立源作用的线性叠加.
如果不是线性电路, 可以将其通过控制条件先线性化, 然后再使用叠加定理, 比如对MOSFET的分析.
- 替代定理 对于一端口网络, 如果其电压为\(U_K\), 电流为\(I_K\), 则可以使用一个独立电压源\(U_K\), 或者使用一个独立电流源\(I_K\), 亦或使用一个电阻\(R_K=U_K/I_K\)来替代.
- 戴维宁定理 线性含源一端口网络, 对外电路而言, 可以使用一个独立电压源和一个串联的电阻来等效.
\[U_{eq}=U_{oc}\R_{eq} = \textit{去除独立源, 从端口看入的电阻}
\]
- 诺顿定理 线性含源一端口网络, 对外电路而言, 可以使用一个独立电流源和一个并联的电阻来等效.
\[I_{eq}=I{sc}\R_{eq} = \textit{去除独立源, 从端口看入的电阻}
\]
- 最大功率传输定理 含源一端口网络, 所接负载\(R_L\)不同, \(R_L\)上功率不同, 求导得为使\(R_L\)功率最大, 有
\[R_L=R_{eq}
\]
其中涉及到的概念有,
网络 | 控制理论中抽象化的系统, 在电路一门课上, 就指网络; 而网络, 就是一块电路
二端口网络 | 有两个端口的一段电路, 具有四个端子
含源 | 网络中含有独立源; 受控源在电路等效时, 其地位等同电阻即可
去掉独立源 | 独立电压源--短路; 独立电流源--断路
此类线性元件构成的电路, 列出的方程可以使用线性代数的方式求解, 此形式亦便于计算机求解.
储能元件
相较于对电阻电路的分析, 对具有储能元件的电路的分析更为复杂.
- 电容 Capacitor | 能够以电场形式储存电能的元件.
\[C= \frac{Q}{V}=\frac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d}
\]
其中, \(C\)为电容值, 单位为库伦, 以单位电压下电极板上能够储存的电荷值度量. 决定式中, \(\varepsilon\)为真空介电常数, \(\varepsilon_0\)为介值(Dielectric)的相对介电常数.
- 电感 Inductor | 能够以磁场形式储存电能的元件.
\[LI = N\Phi_B
\]
其中, \(L\)为电感值, 单位为亨利, 以某电流\(I\)下, \(N\)匝通电螺线圈Solenoid能产生的磁场度量. 决定式中有多个变量, 此处不列, 通常使用此元件前厂家会给出\(L\)的值.
元件约束
在电路中, 对储能元件的分析, 更常用下方的关系式
\[i = \frac{dq}{dt}=\frac{dCu}{dt}=C\frac{du}{dt}
\]
电容的动态特性 只有电压处在变化中时, 电容中才有"电流"流过.
\[u = -N\frac{d\Phi_B}{dt}=-L\frac{di}{dt}
\]
电感的动态特性 只有电流处在变化中时, 电感中才有"电压"压降.
简单分析
记忆性质
记忆性 元件当前的值与过去的状态有关
\[\begin{align}
C\frac{du}{dt} &= i\notag\du&=\frac{1}{C}didt\notag\u(t)&=u(t_0)+\frac{1}{C}\int_{t_0}^tid\tau
\end{align}
\]
从上式可看出, 某时刻电容上的电压值是过去电流累计的结果.
\[\begin{align}
-L\frac{di}{dt} &= u\notag\di &= -\frac{1}{L}udt\notag\i(t) &= -[i(t_0)+\frac{1}{L}\int_{t_0}^tud\tau]
\end{align}
\]
从上式可看出, 某时刻电感上的电流值是过去电压累计的结果.
功率和储能
\[\begin{align}
p=ui&=u\cdot C\frac{du}{dt}\W_C = \int _{-\infty}^t Cu &\frac{du}{d\tau}d\tau=\frac{1}{2}Cu^2(t)
\end{align}
\]
\[\quad\quad\cdots\W_L=\frac{1}{2}Li^2(t)
\]
电容, 电感的储能都只与当前的电压/ 电流值有关;
因为\(p\)是有限值, 电容, 电感的储能不能突变.
电容/ 电感元件的串并联
四种情况, 逐一分析如下,
电容的串联
\[C‘=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}
\]
串联电容分压
\[\begin{align}
\because\quad&
u_1=\frac{1}{C_1}\int_{-\infty}^ti(\tau)d\tau\quad\therefore& u_1=\frac{C‘}{C_1}u= \frac{C_2}{C_1+C_2}u\notag\&u_2=\frac{1}{C_2}\int_{-\infty}^ti(\tau)d\tau\notag& u_1=\frac{C‘}{C_2}u= \frac{C_1}{C_1+C_2}u\notag\&u=\frac{1}{C‘}\int_{-\infty}^ti(\tau)d\tau\notag
\end{align}
\]
电容的并联
\[C‘‘=C_1+C_2
\]
并联电容分流
\[i_1=\frac{C_1}{C‘‘}i;\quad i_2=\frac{C_2}{C‘‘}i
\]
电感的串联
\[L‘=L_1+L_2
\]
串联电感分压
\[\begin{align}
u_1=L_1\frac{di}{dt}=\frac{L_1}{L}u=\frac{L_1}{L‘}u\notag\u_2=L_2\frac{di}{dt}=\frac{L_2}{L}u=\frac{L_1}{L‘}u\notag
\end{align}
\]
电感的并联
\[L‘‘=\frac{1}{(1/L_1)+(1/L_2)}=\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}
\]
并联电感分流
\[\begin{align}
Li&=\int_{-\infty}^tu(\tau)d\tau\notag\i_1&=\frac{1}{L1}\int_{-\infty}^tu(\tau)d\tau=\frac{L}{L_1}i=\frac{L_2i}{L_1+L_2}\notag\i_2&=\frac{1}{L2}\int_{-\infty}^tu(\tau)d\tau=\frac{L}{L_2}i=\frac{L_1i}{L_1+L_2}\notag
\end{align}
\]
04 -- 理想元件
原文：https://www.cnblogs.com/chancebeauty/p/14659657.html
