函数综合

一、一些小概念

1. 单调性

判断单调性的方法

• 定义法

  已知函数 ,

  • 则 在 上 单调递增
  • 则 在 上 单调递减
• • 求导

  已知函数 , 在其定义域内均可导, 则有

  • , 则 单调递增
  • , 则 单调递减
  • , 则 取到极值点.

• 定义法变形（类似导数定义）

  已知函数 ,

  • 若 ，则 在 上 单调递增
  • 若 ，则 在 上 单调递减

单调性的应用

• 比较大小

  (1) 利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；

  (2) 利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间.?

• 解不等式

  (1) 利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式.?

  (2) 利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围.?

  (3) 利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错.

*复合函数的单调性判断

简单证明：

若 , 且在定义域处处可导，则有，不难看出：

• 若 与 单调性相同，则 与 符号相同， 大于 0， 单调递增
• 若 与 单调性不同，则 与 符号相反， 小于 0， 单调递减

即 同增异减

2. 奇偶性

关于奇偶性

• 定义域关于 对称
• 则 为 奇函数
• 则 为 偶函数
• , 这个小技巧可以在小题目里取取巧
• 若奇函数 的定义域包含0, 切莫忘记写

奇偶性的应用

• 解不等式

*复合函数奇偶性

若 ，

• 若 为偶函数, , 为偶函数

• 若 为奇函数，

  • 若 为奇函数,
  • 若 为偶函数,

即 内偶则偶，内奇同外

3. 对称性

对称性的本质

对称性的本质就是奇偶性经过平移的结果, 由于平移方式的不同, 于是就造就了对称性的不同

对称性的分类

• 关于点对称 [奇函数 平移 ][中点坐标公式 ]

  若 关于点对称,

  则有, 整理得

• 关于轴对称 [偶函数 平移 ]

  若关于对称, 则有

4. 周期性

周期性的本质

周期性的本质就是对称性复合的结果, 一个函数有两个及以上条对称轴, 于是就有了周期性

具有周期性的抽象函数

函数 对定义域内任意实数 满足 (其中 为常数)

• ，则 是以 为周期的周期函数
• ，则 是以 为周期的周期函数
• ，则 是以 为周期的周期函数
• ，则 是以 为周期的周期函数
• ，则 是以 为周期的周期函数

二、一些小练手

1. 函数 的值域为__________________

2. 已知 与 都是定义在 上的奇函数，且当 时， ，，若 ，恰有4个零点，则正实数 的取值范围是______________

3. 关于函数 ，有下面四个结论：

   (1) 是奇函数 (2) 当 时， 恒成立

   (3) 的最大值是 (4) 的最小值是

   其中正确结论的个数为 （ ）

   A. 1个 B. 2个 C.3个 D.4个

4. 已知函数 的定义域为 ，对任意 都满足 ，当 时，

   (1) 判断并证明 的单调性和奇偶性

   (2) 是否存在这样的实数 ，当 时，使不等式 对所有 恒成立，如存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由

5. 已知函数 的定义域是 ，且 , , 当 时，,

   (1) 求证： 为奇函数

   (2) 求 在区间 上的解析式

   (3) 是否存在正整数 ，使得当 时，不等式 有解？请证明你的结论。

三、一些小知识

卡西欧 SOLVE 是如何解方程的

参阅说明书，会发现 “SOLVE 使用牛顿法得出方程的近似解” ，理解这一点会帮助我们更准确地，更完整地使用 SOLVE 这个功能。

这里提到一个求解方程的方法——牛顿法：

从根本上说，牛顿迭代法通过一系列的 迭代 操作使得到的结果 不断逼近 方程的实根。

首先，要选择一个初始值 ，使得该初始值接近实根的值。

然后，迭代计算如下的公式

直到 达到一个满意的近似结果为止。

牛顿法求解函数最值问题

牛顿法也被用于求函数的极值。由于函数取极值的点处的导数值为零，故可用牛顿法求导函数的零点，其迭代式为 . 求拐点的公式以此类推