二阶行列式
所谓二阶行列式，是由四个数，如 \(a_{11}\)，\(a_{12}\)，\(a_{21}\)，\(a_{22}\) 排列成含有两行两列形如 \(\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|\) 的式子，它表示一个数值，其展开式为
\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\]
三阶行列式
所谓三阶行列式，是由九个数，如 \(a_{11}\)，\(a_{12}\)，\(a_{13}\)，\(a_{21}\)，\(a_{22}\)，\(a_{23}\)，\(a_{31}\)，\(a_{32}\)，\(a_{33}\) 排列成含有三行三列形如 \(\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \a_{21} & a_{22} & a_{23} \a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\) 的式子，它表示
一个数值，其展开式为
\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \a_{21} & a_{22} & a_{23} \a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|
=a_{11}\left|\begin{array}{c}
a_{22} & a_{23} \a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|-a_{12}
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & a_{23} \a_{31} & a_{33}
\end{array}\right|+a_{13}
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & a_{22} \a_{31} & a_{32}
\end{array}\right|
\]
n阶行列式
我们观察二、三阶行列式的定义，顺便定义一下一阶行列式：
（几乎全是复制）
所谓一阶行列式，是由一个数，如 \(a_{11}\) 排列成含有一行一列形如 \(\left|\begin{array}{c}
a_{11}
\end{array}\right|\) 的式子，它表示一个数值，其展开式为
\[\left|\begin{array}{c}
a_{11}
\end{array}\right|
=a_{11}
\]
有了一阶行列式的定义，我们考虑像三阶行列式一样递归的定义二阶行列式：
\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} \a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
=a_{11}\left|\begin{array}{c}
a_{22}
\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{c}
a_{21}
\end{array}\right|
\]
至此，\(n\) 阶行列式的定义几乎呼之欲出了：
所谓 \(n\) 阶行列式，是由 \(n^2\) 个数，如 \(a_{11}\)，\(a_{12}\)，\(\cdots\)，\(a_{nn}\) 排列成含有 \(n\) 行 \(n\) 列形如 \(\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\cdots & \ddots & \cdots \a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|\) 的式子，它表示一个数值，其展开式为
\[\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\cdots & \ddots & \cdots \a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{1i}\left|\begin{array}{c}
a_{21} & \cdots & a_{2\ i-1} & a_{2\ i+1} & \cdots & a_{2n} \\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \a_{n1} & \cdots & a_{n\ i-1} & a_{n\ i+1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
\]
（其实就是对于第一行的每个元素，用它乘除了它同行同列的剩下来数构成的子行列式。）
上式中令
\[M_{1i}=
\left|\begin{array}{c}
a_{21} & \cdots & a_{2\ i-1} & a_{2\ i+1} & \cdots & a_{2n} \\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \\cdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \cdots \a_{n1} & \cdots & a_{n\ i-1} & a_{n\ i+1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|$$，称为元素 $a_{1i}$ 的**余子式**。令 \]
A_{1i}=(-1)^{i+1}M_{1i}$$，称为元素 \(a_{1j}\) 的代数余子式。
行列式在解线性方程的运用：Cramer法则
目标：求解关于 \(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\) 的 \(n\) 元线性方程组
\[\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\cdots \a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \\end{cases}
\]
Cramer法则求解：
令
\[D=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\cdots & \ddots & \cdots \a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|
\]
，称之为该方程组的系数行列式。
同时，把行列式 \(D\) 的第 \(i\) 列替换为方程组的常数列项（\(b_1\)，\(b_2\)，\(\cdots\)，\(b_n\)），得到新的行列式记为 \(D_i\)，即
\[D_1=\left|\begin{array}{c}
b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|,
D_2=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & b_1 & \cdots & a_{1n} \a_{21} & b_2 & \cdots & a_{2n} \\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \a_{n1} & b_n & \cdots & a_{nn}
\end{array}\right|,
\cdots,
D_n=\left|\begin{array}{c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & b_1 \a_{21} & a_{22} & \cdots & b_2 \\cdots & \vdots & \ddots & \cdots \a_{n1} & a_{n2} & \cdots & b_n
\end{array}\right|
\]
若线性方程组的系数行列式 \(D\not=0\)，则该方程组有唯一解：
\[x_i=D/D_i\qquad (i=1,2,\cdots,n)
\]
Cramer法则的应用
例题 求解二元线性方程组
\[\begin{cases}
5x_1+x_2 = 4 \2x_1-3x_2 = 5
\end{cases}
\]
解 这个线性方程组的系数行列式为
\[D=\left|\begin{array}{c}
5 & 1 \2 & -3
\end{array}\right|=-17
\]
由于 \(D=17\not=0\)，该线性方程组有唯一解，
\[D_1=\left|\begin{array}{c}
4 & 1 \5 & -3
\end{array}\right|=-17,
D_2=\left|\begin{array}{c}
5 & 4 \2 & 5
\end{array}\right|=17
\]
即
\[\begin{cases}
x_1=D/D_1=1 \x_2=D/D_2=-1
\end{cases}
\]
Cramer法则与齐次性
若线性方程组的常数项全为零，即
\[\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\cdots \a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = 0 \\end{cases}
\]
则称该线性方程组为齐次线性方程组。反之，如果常数项不全为零，则称之为非齐次线性方程组。
齐次线性方程组永远有解，这组解为 \(x_i = 0\qquad (i=1,\cdots,n)\)，这组解被称为零解。
由Cramer法则容易知道，当线性方程的系数行列式不等于 \(0\) 时，方程只有零解。
Cramer法则的局限性
- 应用Cramer法则求解 \(n\) 元线性方程组时，必须有 \(n\) 条方程。
- 应用Cramer法则求解 \(n\) 元线性方程组时，因涉及到行列式的计算问题，即需要计算 \(n+1\) 个 \(n\) 阶行列式的值，这样，随着 \(n\) 的增大，求解的计算量是相当大的。
线性代数1 行列式
原文：https://www.cnblogs.com/szdytom/p/linear-det.html
