问题：求证
\[\frac{\pi}{6}<\int_0^1{\frac{\text{d}x}{\sqrt{4-x^2-x^3}}}<\frac{\pi}{4\sqrt{2}}
\]
过程如下：
注意到不等式两边数值与\(\displaystyle\pi\)有关，那么要对被积函数进行放缩，使其积分出来的原函数与三角函数相关。
一方面
\[\begin{align*}
\int_0^1{\frac{\text{d}x}{\sqrt{4-x^2-x^3}}}&>\int_0^1{\frac{\text{d}x}{\sqrt{4-x^2}}}
\&=\text{arc}\sin \frac{x}{2}\big|_{0}^{1}
\&=\frac{\pi}{6}
\end{align*}
\]
另一方面，由于\(\displaystyle 0<x<1\)，所以有\(\displaystyle x^3<x^2\)，因此
\[\begin{align*}
\int_0^1{\frac{\text{d}x}{\sqrt{4-x^2-x^3}}}&<\int_0^1{\frac{\text{d}x}{\sqrt{4-x^2-x^2}}}
\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_0^1{\frac{\text{d}x}{\sqrt{2-x^2}}}
\&=\frac{1}{\sqrt{2}}\text{arc}\sin \frac{x}{\sqrt{2}}\big|_{0}^{1}
\&=\frac{\pi}{4\sqrt{2}}
\end{align*}
\]
故原不等式成立。
积分不等式与估值一例
原文：https://www.cnblogs.com/xuke0721/p/14930545.html
