质数（prime）又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。与之相反的是合数。

性质 

• 有无数个     
• $\cdots

判断方法

• 从定义出发，设i=2~n-1,逐个枚举i，若i整除n，则说明n有除了1和它本身之外的因数，不是质数。 

1 inline bool is_prime1(int x) {
2     if(n == 1) return false;
3     for(register int i = 2; i < n; ++i) {
4         if(x % i == 0) return false;
5         return true;
6     }
7 }

　　　　　　时间复杂度$O(n)$

• 我们很容易得出，若i是n的因子，那么$\frac{n}{i}$也是n的一个因子，反正i不是n的因子，那么$\frac{n}{i}$也不是n的因子。所以我们只要判断1到$\sqrt{n}$的数是不是存在n的因子即可。

inline bool is_prime2(int x) {
    if(x <= 1) return false;
    int t = sqrt(x);
    for(register int i = 2; i <= t;++i)
        if(x % i == 0) return false;
    return true;
}

　　　　时间复杂度$O(\sqrt{n}）$ 这已经足以满足在正常算法竞赛的使用了

• 对于任意一个自然数，都可以把它表示为 6x-1,6x,6x+1,6x+2,6x+3,6x+4,6x+5 $x\ge 1且x为整数$.    

          6x+2=2（3x+1）    6x+3=3(2x+1)   6x+4=2(3x+2)   所以可以表示为这三个数的数字一定不是质数. 而6x+5 可以表示为6(x+1) -1 

          所以我们可以发现，素数一定会在6的倍数的两侧，相差为1，这也是孪生素数的定义

inline bool is_prime3(int x ) {
    if(x == 2 || x == 3 )return 1 ;//特判
    if(x % 6 != 1 && x % 6 != 5)//其他三种情况一定不是质数
        return false ;
    int t = sqrt(x);
    for(register int i = 5; i <= t; i += 6 )
        if(x % i == 0 || x % (i + 2) == 0 )
            return false ;//在6x两侧也不一定是素数，要检验一下
    return true;
}

　　　　　　时间复杂度$O（\frac{\sqrt{n} }{3})$ 这里稍作解释,大O表示算法时间复杂度上界，上文的代码循环的if语句最多要判断两次，所以要×2。 这已经十分优秀了

• Pollard-Rho算法

             当n十分大的时候，上述三种算法就统统TLE了，那么有没有什么算法可以更高效，准确的判断呢？如果是常数级的更好了。

             其实是没有的。。。。

　　      将介绍的是Pollard-Rho算法，是一种随机算法（看RP？）

　　　   看下面的代码

• 跑素数筛，列出素数表，就很好判断是不是素数了。

数论----质数

原文：https://www.cnblogs.com/QQ2519/p/15026309.html