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前言

本文将介绍一、二阶线性差分方程的常见形式和基本解法。

一、差分方程的解

1.定义

若把一个函数\(y_t=f(t)\)代入差分方程中，使其成为恒等式，则称\(y_t=f(t)\)为差分方程的解。

2.特解与通解

通解：含有任意常数的个数与差分方程的阶数一致的解。
特解：给任意常数以确定值的解。

3.初始条件

用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。
一阶差分方程有一个初始条件\(y_0=a_0\)，二阶有两个，以此类推。

二、基本定理

以二阶差分方程为例，其它阶同理。

1.一般形式

其中\(a(t),b(t),f(t)\)均为\(t\)的已知函数且\(b(t)\neq0\)

2.定理一

若\(y_1(t),y_2(t)\)是二阶齐次线性差分方程的解，则\(C_1y_1(t)+C_2y_2(t)\)也是该二阶齐次方程的解，其中\(C_1,C_2\)是任意常数。

3.定理二

若\(y_1(t),y_2(t)\)是二阶齐次线性差分方程的线性无关特解，则

是该方程的通解，其中\(C_1,C_2\)是任意常数。

3.定理三

若\(y^*(t)\)是二阶非齐次线性差分方程的特解，\(y_C(t)\)是对应齐次线性差分方程的通解，则非齐次线性差分方程的通解为

4.定理四

若函数\(y_1^*(t),y_2^*(t)\)分别是二阶非齐次线性差分方程:

则 \(y_1^*(t)+y_2^*(t)\)是二阶非齐次线性差分方程

三、一阶线性差分方程

1.齐次

(1)一般形式

(2)解法

很明显，这是个等比数列，所以容易得出一个特解

通解为

这里再引入特征方程的概念，以便解决更高阶的问题。
对于一阶齐次/非齐次方程，称一次代数式

为差分方程的特征方程；特征方程的根为特征值或特征根。

2.非齐次

情形一

其中\(P_m(t)\)是形如

的\(m\)次多项式，

是已知常数。

（1）\(\rho\)不是特征根

特定解的形式为

这里的\(Q_m(t)\)是系数待定的\(m\)次多项式，将其带入差分方程中可解得特解。
由定理三可解出非齐次方程的通解。

（2）\(\rho\)是特征根

特定解的形式为

同理

情形二

令

（1）\(\delta\)不是特征根

待定特解形式为

（1）\(\delta\)是特征根

待定特解形式为

四、二阶线性差分方程

1.齐次

(1)一般形式

(2)解法

特征方程有相异实根\(\lambda_1,\lambda_2\)，通解为

特征方程有同根\(\lambda_1,\lambda_2\)，易知\(\lambda_1=\lambda_2=-\frac{a}{2}\)，有一个特解\((-\frac{a}{2})^t\)，通过验证可知\(t(-\frac{a}{2})^t\)也是一个解，于是通解为

特征方程有共轭副根\(\alpha\pm i\beta\)，\(\alpha=-\frac{2}{a},\beta=\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}\)，则有两个特解

通解为

2.非齐次

与一阶同理

线性差分方程解法

原文：https://www.cnblogs.com/Tarjan-Zeng/p/15038489.html