平方和公式$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

时间：2021-08-04 22:31:32 阅读：21 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

平方和公式的推导

\[C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n}+C_{m-1}^{n-1} \]
世俗理解：

从m个物品挑选出n个物品，在面临第n个物品的抉择时，有选与不选的两种操作，如果这个时候选了，其余的n-1个物品就在m-1中个物品中选；如果这个时候还是不选，n个物品就得在m-1个物品中进行选择

\[C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-2}^{n-1}+C_{m-3}^{n-1}+...+C_{n-1}^{n-1}=\sum_{i=n-1}^{m-1}C_{i}^{n-1} \]

\[\left\{ \begin{array}{l} C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n}+C_{m-1}^{n-1} \\ C_{m-1}^{n}=C_{m-2}^{n}+C_{m-2}^{n-1} \end{array} \right. \]

可将二式子代入一式子可得

\[C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-2}^{n-1}+C_{m-2}^{n} \]

通过一层层得代入到最后会得到（注意将会有$$C_{n-1}^{n}=0$$的存在，忽略掉就行）

\[C_{m}^{n}=C_{m-1}^{n-1}+C_{m-2}^{n-1}+C_{m-3}^{n-1}+...+C_{n-1}^{n-1}=\sum_{i=n-1}^{m-1}C_{i}^{n-1} \]

\[i^2 = i(i-1)+i=2*C_{i}^{2}+C_{i}^{1} \]

\[\sum_{i=1}^{n}i^2=\sum_{i=1}^{n}2*C_{i}^{2}+C_{i}^{1}=2*C_{n+1}^{3}+\frac{(1+n)*n}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

\left\{
    \begin{array}{l}
            x+y=4 \\  x-y=2
        \end{array}
\right.

\frac{}{}

原文：https://www.cnblogs.com/BeautifulWater/p/15100950.html

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