直观地说，如果一个变换具有以下两条性质，我们就称它是线性的:
一是直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲（变换后对角线也必须是直线，也就是变换后的x轴和y轴保持平行且等分）
二是原点必须保持固定
总的来说，你应该吧线性变换看作是
保持网格平行且等距分布，并保持原点不动的变换
变换前如图：
变换后如图：（网格线保持平行且等分的性质有一个重要的推论：变换后的向量v的位置，是-1与变换后的i帽之积，加上2与变换后的j帽之积）
变换后的向量v也是变换后的i帽和j帽的同样的线性组合：
我们只要记录了变换后的i帽和j帽，我们可以推断出任意向量在变换之后的位置，我们可以不用关心变换本身是什么
一个二维线性变换仅由四个数字完全确定，变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标
因此我们可以把一个2x2矩阵看做是两个特殊的向量，即变换后的i帽和j帽
矩阵向量乘法：
每当看到一个矩阵，你都可以把它解读为对空间的一种特定变换：将矩阵看做空间的变换
我们完全可以把矩阵的列看做变换后的基向量，把矩阵向量乘法看做他们的线性组合
原文：https://www.cnblogs.com/hanshuai/p/15142402.html