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浅谈gamma函数

时间:2021-09-15 20:42:38      阅读:4      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

我们尝试将阶乘函数从整数域拓展到实数域,这时就需要一些手段来构造一个函数\(f(x)\)满足对于\(\forall x\in N,f(x)=x!\)

\[\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^\infty x^i\\]

这是易得的,考虑换种方式表现:

\[\int_{0}^{+\infty}e^{nt}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^xd\frac{x}{n}\\=\frac{1}{n}\int_{0}^{+\infty}e^xdx\\=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{e^{nt}-1}{n} \]

\(n\leq 0\)时,原式收敛于\(-\frac{1}{n}\)

是的,我们考虑用这东西来表示\(\frac{1}{1-x}\)

\[\frac{1}{1-x}=\int_{0}^{+\infty}e^{-t(1-x)}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}e^{xt}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(xt)^i}{i!}dt\\=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^idt}{i!}x^i \]

对照最开头的式子,有没有发现什么?

所以我们得到了:

\[n!=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^ndx \]

也就是欧拉在\(\Large 22\)岁时想出的做法(而这个问题是哥德巴赫在\(\tiny 38\)岁时向伯努利请教的,碰巧欧拉和伯努利当时在一起。。。)

他所定义的\(\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt=(x-1)!\)

(为什么不直接定义成\(x!\)呢?)

至于应用,之后找时间再填坑吧

浅谈gamma函数

原文:https://www.cnblogs.com/SYDevil/p/15270185.html

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