我们尝试将阶乘函数从整数域拓展到实数域，这时就需要一些手段来构造一个函数\(f(x)\)满足对于\(\forall x\in N,f(x)=x!\)
\[\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^\infty x^i\\]
这是易得的，考虑换种方式表现：
\[\int_{0}^{+\infty}e^{nt}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^xd\frac{x}{n}\\=\frac{1}{n}\int_{0}^{+\infty}e^xdx\\=\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{e^{nt}-1}{n}
\]
当\(n\leq 0\)时，原式收敛于\(-\frac{1}{n}\)
是的，我们考虑用这东西来表示\(\frac{1}{1-x}\)
\[\frac{1}{1-x}=\int_{0}^{+\infty}e^{-t(1-x)}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}e^{xt}dt\\=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{(xt)^i}{i!}dt\\=\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^idt}{i!}x^i
\]
对照最开头的式子，有没有发现什么？
所以我们得到了：
\[n!=\int_{0}^{+\infty}e^{-x}x^ndx
\]
也就是欧拉在\(\Large 22\)岁时想出的做法（而这个问题是哥德巴赫在\(\tiny 38\)岁时向伯努利请教的，碰巧欧拉和伯努利当时在一起。。。）
他所定义的\(\Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt=(x-1)!\)
（为什么不直接定义成\(x!\)呢？）
至于应用，之后找时间再填坑吧
浅谈gamma函数
原文：https://www.cnblogs.com/SYDevil/p/15270185.html
