poj 1679 The Unique MST 【次小生成树】

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Sample Input

2
3 3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
4 4
1 2 2
2 3 2
3 4 2
4 1 2

Sample Output

3
Not Unique!

题意：求最小生成树是否唯一。

什么是生成树：就是包含1~n，n个节点的一个数

什么是次小生成树，就是在图中生成树（权值）中仅仅大于最小生成树（权值）的一棵树。

分析：设T为图的一颗最小生成树，那么我们思考发现，只要我们能够找到不在T中一条边(U,V)来替换T中的（U，v）那么这个替换过的树，必定是一个生成树，又因为最小生成树中的任意两个节点的边都是相对最短的，那么我们只需要不断的换边的话（每次只换一条边），这就形成了一个由最小生成树改变得来的生成树集，叫T的邻集，那么我们不难发现，次小生成树一定是在T的邻集中，所以我们只需要枚举T的邻集找出来次小生成树，然后判断是不是与最小生成树相等即可。

那么问题来了：挖掘机技术哪家强。。咳咳 是怎么求呢？

求法：每次枚举一条在T中的边，找出在T中连接u和v的唯一路径（肯定是唯一的，，想想为啥），在路径中找出最长的那条边，用max【u】【v】储存， 然后枚举不在T中的边u， v，替换掉最长边max【u】【v】，不断枚举，

有点抽象，我说一下我的理解

图有点丑，不过能表达我的意思。MST就是最小生成树，SST就是次小生成树 u= 2， v = 3.

转换过后就是这样。

其实这道题有二种解法的，一种是求出来次小生成树，一种是标记最小生成树的边，一次删去标记的边，求最小生成树，

注:这只是我个人（小菜鸟一枚）的理解，欢迎高手来指教！！

参考：http://www.cnblogs.com/dongsheng/articles/2617186.html

 代码1（次小生成树）：

#include <cstdio>
#include <cstring>
//#include <algorithm>
const int M = 105;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
using namespace std;

int map[M][M], n, m, low[M];
int pre[M], max[M][M];  //pre是上一个点，max就是储存最长的路径
bool con[M][M], vis[M];  con数组是标记最小生成树中的边

int Max(int a, int b){
    return a>b?a:b;
}

int prim(){
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(max, 0, sizeof(max));
    memset(con, false, sizeof(con));
    int i, j, pos, min, sum = 0;
    pos = 1;
    for(i = 1; i <= n; i ++){
        low[i] = map[pos][i];
        pre[i] = pos;
    }
    vis[pos] = 1;
    for(i = 1; i < n; i ++){
        min = INF;
        for(j = 1; j <= n; j ++){
            if(!vis[j]&&min > low[j]){
                min = low[j]; pos = j;
            }
        }
        if(min == INF) return -1;
        sum += min;
        vis[pos] = 1;
        con[pre[pos]][pos] = con[pos][pre[pos]] = 1;
        max[pre[pos]][pos] = max[pos][pre[pos]] = min;  //先储存min
        for(j = 1; j <= n; j ++){  //这里的循环就是找出来最长边，仔细想一想哈~~用的是的dp 
            max[j][pos] = Max(max[pre[pos]][pos], max[j][pos]);
        } 
        for(j = 1; j <= n; j ++){
            if(!vis[j]&&map[pos][j] < low[j]){
                low[j] = map[pos][j];
                pre[j] = pos;
            }
        }
    }
    return sum;
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t --){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        int i, j;
        for(i = 0; i < M; i ++)
            for(j = 0; j < M; j ++)
                map[i][j] = INF;
        int a, b, c;
        for(i = 0; i < m; i ++){
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            map[a][b] = map[b][a] = c;
        }
        int res = prim();
        int flag = 0;
        for(i = 1; i <= n; i ++){
            for(j = 1; j <= n; j ++){
                if(con[i][j]||map[i][j] == INF) continue; //这里就是枚举最小生成树的边，
                int ans = map[i][j] - max[i][j];
                if(ans == 0){
                    flag = 1;
                    break;
                }
            }
            if(flag) break;
        }
        if(flag) printf("Not Unique!\n");
        else printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
const int M = 105;
using namespace std;

struct node{
    int from, to, w;
    bool flag;
}s[M*M];
int n, m, fat[M];

int f(int x){
    if(x != fat[x]) fat[x] = f(fat[x]);
    return fat[x];
}

int cmp(node a, node b){
    return a.w < b.w;
}

int kruskal(){
    int i, min = 0, cou = 0;
    for(i = 0; i < M; i ++) fat[i] = i;
    for(i = 0; i < m; i ++){
        int x = f(s[i].from); int y = f(s[i].to);
        if(x != y){
            min += s[i].w;
            fat[x] = y;
            s[i].flag = true;
            cou ++;
        }
    }
    if(cou != n-1) return -1;
    return min;
}

int kruskalsst(int v){
    int i, min = 0, cou = 0;
    for(i = 0; i < M; i ++) fat[i] = i;
    for(i = 0; i < m; i ++){
        if(v == i) continue;
        int x = f(s[i].from); int y = f(s[i].to);
        if(x != y){
            min += s[i].w;
            fat[x] = y;
            cou ++;
        }
    }
    if(cou != n-1) return -1;
    return min;
}

int main(){
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t --){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        memset(s, 0, sizeof(s));
        int i;
        for(i = 0; i < m; i ++){
            scanf("%d%d%d", &s[i].from, &s[i].to, &s[i].w);
        }
        sort(s, s+n, cmp);
        int res = kruskal();
        if(res == -1 ){
            printf("Not Unique!\n"); continue;
        }
        int flag = 0;
        for(i = 0; i < m; i ++){
            if(s[i].flag){
                int ans = kruskalsst(i);
                if(res == ans) {
                    flag = 1; break;
                }
            }
        }
        if(flag) printf("Not Unique!\n");
        else printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

poj 1679 The Unique MST 【次小生成树】

原文：http://blog.csdn.net/shengweisong/article/details/41593549