素数线型筛

复杂度为O(n)的线型筛法：

int prime[MAXN], tot;
bool check[MAXN];

void init()
{
    FE(i, 2, MAXN)
    {
        if (!check[i])
            prime[tot++] = i;
        for (int j = 0; j < tot && i <= MAXN / prime[j]; j++)
        {
            check[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

1. 保证每个合数能被筛到。（保证正确性）
   假设一个合数可以表示为m = p1^n1 * p2^n2 * ...px^nx，那么对于k = p1^(n1 - 1) * p2^n2 * ...px^nx，则m = p1 * k
   当i = k时，由素数的性质可知，k不能整除比p1小的任意一个素数。故在prime[j] < p1时，上述代码的13行不会执行到，即此时合数m会被筛到，得证
   
   
2. 保证每个合数仅被筛一次。（保证复杂度为线性）分两种情况：
   此处先证明一下，m一定是被最小的质因子筛掉：
   由于m是合数，那么至少含有两个因子，设p为最小的质因子，另一个质因子为p1，m = p * p1 * k
   当i = p * k时由于p <= p1，那么当prime[j] = p时执行上述13行的break。
   若p < p1，此时不会得到m即m不会因为比p大的数筛掉
   若p = p1，此时由于最小的p被筛掉
   
   剩下的只需要证明，m仅有一种质因子的情况：
   m = p ^ x, x > 1。设k = p ^ (x - 1)
   当i = k时，由素数的性质可知，k不能整除比p小的任意一个素数。故在prime[j] < p时，上述代码的13行不会执行到，即此时合数m会被筛到。
   当i = p ^ t， t < x - 1时，同上，在prime[j] < p时，上述代码的13行不会执行到。当prime[j] = p时，此时将会结束i的循环，不会继续向下筛，所以m不会被筛到。
   即在此种情况下，合数m仅被筛一次
   

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素数线型筛

原文：http://blog.csdn.net/wty__/article/details/20063517