实数域和有理数域上的正定矩阵

1. 设实半正定矩阵  $A$  满足:
   

   $$\bee\label{130628.1} \alpha\in \bbQ^n,\quad\alpha^tA\alpha=0\ra \alpha=0. \eee$$
   证明或否定:  $A$  是正定的.

2. 若 (1) 中的矩阵  $A$  为有理半正定矩阵, 再回答第一小问.

    

解答：

1. $A$  不一定正定. 比如
       

   $$\bex A=\sex{\ba{cc} 1&e\\ e&e^2\ea} \eex$$
   不正定, 但适合  $\eqref{130628.1}$ . 因为
        $$\beex \bea &\quad 0=\alpha^tA\alpha=x^2+2exy+e^2y^2\quad(\alpha^t=(x,y\in\bbQ^2))\\ &\ra e=-x/y\mbox{ 或 }y=0\\ &\ra x=y=0,\quad \alpha=0. \eea \eeex$$
   

2. 若  $A$  为有理矩阵, 则结论正确. 经初等变换, 存在可逆有理阵  $P$ , 使得  $P^tAP=\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$ . 由  $A$  半正定知各  $\lambda_i\geq 0$ . 若某  $\lambda_l=0$ , 则取
       

   $$\bex \alpha^t=e_l^tP^t\neq 0,\quad e_l=(\underbrace{0,\cdots,0,1}_{l\mbox{个}},0,\cdots,0), \eex$$
       有
        $$\bex \alpha^tA\alpha =e_l^tP^tAPe_l =e_l^t\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)e_l=0. \eex$$
   

注记：

1. 这是我的博士同学 X.N. Zeng 在看他的魔鬼数论书是提出并解决的. 但是他的提法有点问题.

2. 你要搞懂我要问的是什么哦. 我是说 ``任意满足  $\alpha^tQ\alpha=0$  的有理向量  $\alpha$ , 都适合  $\alpha=0$ ‘‘.

实数域和有理数域上的正定矩阵,布布扣,bubuko.com

实数域和有理数域上的正定矩阵

原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3572853.html