强连通的主要考查问题分析
由于，本人也是刚入门不久。所以，难免有些地方说的不对，希望说本人说的不对的地方，欢迎大家提出。
强连通的基础考查有给你一个又向图叫你判断改图是否是强连通图，还有的就是ACM竞赛中最常用的缩点求解强连通。这次我主要讲缩点求解强连通。还有更难得混合题和变形题，我就不讲解了。
强连通的定义：强连通的本质解释就是“相互可达”的关系。
强连通的缩点：每一个集合成为又向图的一个强连通分量（Strongly Connected Component,SCC）。如果把一个集合看成一个点，那么所有SCC构成了一个SCC图。这个SCC图不会存在又向环，因此是一个DAG（有向无环图）。
求解强连通有三种算法，但是常用的只有Kosaraju和Tarjan算法。因此，我主要以这两种算法为主给大家讲解，就不再涉及第三种算法了，有兴趣的可以自己上网查找。
Kosaraju算法： 先把SCC图拓扑排序，然后按照拓扑的逆序进行遍历（为了防止多个SCC混在一起）。
Tarjan算法： 判断一个点是否为一个SCC中最早被发现的点。
其实，Kosaraju算法的本质思想就是，一个个建立SCC.而Tarjan算法则是在一张大的SCC图中分出小的SCC子图。
两个模板有空的时候在给出！！！
然后再给出两道基础练习题。
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题目分析：
改题的本质理解我也是，看了一个大牛的博客才理解的。他解释的非常的好，因此，我就直接复制他的文章了。在这里我就不在赘述了。
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强连通分量缩点求入度为0的个数和出度为0的分量个数
题目大意：N(2<N<100)各学校之间有单向的网络，每个学校得到一套软件后，可以通过单向网络向周边的学校传输，问题1：初始至少需要向多少个学校发放软件，使得网络内所有的学校最终都能得到软件。2，至少需要添加几条传输线路(边)，使任意向一个学校发放软件后，经过若干次传送，网络内所有的学校最终都能得到软件。
也就是：
给定一个有向图，求：
1) 至少要选几个顶点，才能做到从这些顶点出发，可以到达全部顶点
2) 至少要加多少条边，才能使得从任何一个顶点出发，都能到达全部顶点
—顶点数<= 100
解题思路：
— 1. 求出所有强连通分量
— 2. 每个强连通分量缩成一点，则形成一个有向无环图DAG。
— 3. DAG上面有多少个入度为0的顶点，问题1的答案就是多少
在DAG上要加几条边，才能使得DAG变成强连通的，问题2的答案就是多少
加边的方法：
要为每个入度为0的点添加入边，为每个出度为0的点添加出边
假定有 n 个入度为0的点，m个出度为0的点，如何加边？
把所有入度为0的点编号 0,1,2,3,4 ....N -1
每次为一个编号为i的入度为0点的顶点可达到出度0点的顶点，添加一条出边，连到编号为(i+1)%N 的那个出度0点,
这需要加n条边
若 m <= n，则
加了这n条边后，已经没有入度0点，则问题解决，一共加了n条边
若 m > n，则还有m-n个出度0点，则从这些点以外任取一点，和这些点都连上边，即可，这还需加m-n条边。
所以，max(m,n)就是第二个问题的解
此外：当只有一个强连通分支的时候，就是缩点后只有一个点，虽然入度出度为0的都有一个，但是实际上不需要增加清单的项了，所以答案是1，0；
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100 + 5;
vector<int> G[N];
int in[N],out[N];
int pre[N],lowlink[N],sccno[N],dfs_clock,scc_cnt;
stack<int> S;
void Init()
{
for(int i = 0;i < N;++i) G[i].clear();
while(!S.empty())S.pop();
}
void dfs(int u)
{
pre[u] = lowlink[u] = ++dfs_clock;
S.push(u);
for(int i = 0;i < G[u].size();++i){
int v = G[u][i];
if(!pre[v]){
dfs(v);
lowlink[u] = min(lowlink[u],lowlink[v]);
}
else
if(!sccno[v]){
lowlink[u] = min(lowlink[u],pre[v]);
}
}
if(lowlink[u] == pre[u]){
scc_cnt++;
int x;
do
{
x = S.top();
S.pop();
sccno[x] = scc_cnt;
}while(x != u);
}
}
void find_scc(int n)
{
dfs_clock = scc_cnt = 0;
memset(sccno,0,sizeof(sccno));
memset(pre,0,sizeof(pre));
for(int i = 1;i <= n;++i){
if(!pre[i])dfs(i);
}
}
int main()
{
int n,edge;
while(~scanf("%d",&n))
{
Init();
for(int i = 1;i <= n;++i){
while(scanf("%d",&edge),edge)
G[i].push_back(edge);
}
find_scc(n);
for(int i = 1;i <= scc_cnt;++i)
in[i] = out[i] = 1;
for(int u = 1;u <= n;++u)
for(int i = 0;i < G[u].size();++i){
int v = G[u][i];
if(sccno[u] != sccno[v])
in[sccno[v]] = out[sccno[u]] = 0;
}
int a = 0,b = 0;
for(int i = 1;i <= scc_cnt;++i){
if(in[i]) a++;
if(out[i]) b++;
}
int ans = max(a,b);
if(scc_cnt == 1)ans = 0,a = 1;
printf("%d\n%d\n",a,ans);
}
return 0;
}
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题目分析：
在数学中，我们常常需要完成若干个命题的等价性证明。比如，有4个命题a,b,c,d，我们证明a<->b,然后b<->c,最后c<->d。注意每次都是双向的，因此一共完成了次推导。另一种方法是证明a->b,然后b->c，接着c->d，最后d->a，只需四次。现在你的任务是证明n个命题全部等价，且你的朋友已经为你做出了m次推到（已经知道推导的内容），你至少还需要做几次次推导才能完成整个证明?
原型跟上体差不多，不懂得自己看代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2e4 + 5;
vector<int> G[N];
stack<int> S;
int in[N],out[N];
int dfs_clock,scc_cnt,lowlink[N],sccno[N],vst[N],pre[N];
void dfs(int u)
{
lowlink[u] = pre[u] = ++dfs_clock;
S.push(u);
for(int i = 0;i < G[u].size();++i){
int v = G[u][i];
if(!pre[v]){
dfs(v);
lowlink[u] = min(lowlink[u],lowlink[v]);
}
else
if(!sccno[v])
lowlink[u] = min(lowlink[u],pre[v]);
}
if(lowlink[u] == pre[u]){
scc_cnt++;
int x;
do
{
x = S.top();
S.pop();
sccno[x] = scc_cnt;
}while(x != u);
}
}
void find_scc(int n)
{
dfs_clock = scc_cnt = 0;
memset(lowlink,0,sizeof(lowlink));
memset(sccno,0,sizeof(sccno));
memset(pre,0,sizeof(pre));
memset(vst,0,sizeof(vst));
for(int i = 1;i <= n;++i)
if(!pre[i])dfs(i);
}
int main()
{
// freopen("Input.txt","r",stdin);
int T,n,m;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int a,b;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = 0;i <= n;++i)G[i].clear();
for(int i = 0;i < m;++i){
scanf("%d%d",&a,&b);
G[a].push_back(b);
}
find_scc(n);
for(int i = 1;i <= scc_cnt;++i)
in[i] = out[i] = 1;
for(int u = 1;u <= n;++u)
for(int i = 0;i < G[u].size();++i){
int v = G[u][i];
if(sccno[u] != sccno[v])
in[sccno[v]] = out[sccno[u]] = 0;
}
a = b = 0;
for(int i = 1;i <= scc_cnt;++i){
if(in[i])a++;
if(out[i])b++;
}
int ans = max(a,b);
if(scc_cnt == 1)ans = 0;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
分析强连通的主要解体思路（基础篇）,布布扣,bubuko.com
原文：http://blog.csdn.net/zhongshijunacm/article/details/20116401