超大背包（挑战编程之01背包）

先来温习01背包：

01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。

超大背包问题：有n个重量和价值分别为w[i]和v[i]的物品，从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。其中，1 ≤ n ≤ 40， 1 ≤ w[i], v[i] ≤ 10^15, 1 ≤ W ≤ 10^15.

思路：第一感觉就是普通的01背包。不过，看完数据范围会发现，这次价值和重量都可以是非常大的数值，相比之下n比较小。使用DP求解背包为题的复杂度是O(nW)，因此不能用来解决这个问题。此时我们应该利用n比较小的特点来寻找其他方法。

挑选物品的方案总共有2^n种，所以不能直接枚举，但是如果将物品分成两半再枚举的话，由于每部分最多只有20个，这是可行的。我们把前半部分中的挑选方法对应的重量和价值总和记为w1、v1，这样在后半部分寻找总重w2 ≤ W - w1时使v2最大的选取方法即可。

因此，我们要思考从枚举得到的（w2，v2）集合中高效寻找max{v2|w2 ≤ W‘}的方法。首先，显然我们可以排除所有w2[i] ≤ w2[j] 并且 v2[i] >= v2[j]的j。这一点可以按照w2、v2的字典序排序后做到。此后剩余的元素都满足w2[i] < w2[j] <=> v2[i] < v2[j]，要计算max{v2|w2 <= W‘}的话，只要寻找满足w2[i] <= W‘的最大的i就可以了。这可以用二分搜索完成，剩余的元素个数为M的话，一次搜索需要O(logM)的时间。因为M≤2^(n/2)，所以这个算法总的时间复杂度是O(n * 2^(n/2))，可以在实现内解决问题。

代码：

 
#include <ctype.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn =50;
const long long  inf=0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
int n,m,i,j;
LL  w[maxn],v[maxn];
LL W;
pair<LL, LL> vec[1 << (maxn/2)]; //重量，价值
inline int input()
{
    int res=0,f=1,c;
    while(!isdigit(c = getchar()) && c!='-');
    c=='-' ? f=0 : res=c-'0';
    while(isdigit(c = getchar()))
        res = res*10 + c-'0';
    return f ? res : -res;
}
void solve ()
{
    int n2=n/2;
    for(int i=0; i<1<<n2; i++)
    {
        LL sw=0,sv=0;
        for(int j=0; j<n2; j++)
        {
            if(i>>j&1)
            {
                sw+=w[j];
                sv+=v[j];
            }
        }
        vec[i]=make_pair(sw,sv);
    }
    sort(vec,vec+(1<<n2));
    int m=1;
    for(int i=1; i<1<<n2; i++)
    {
        if(vec[m-1].second<vec[i].second)
        {
            vec[m++]=vec[i];
        }
    }
    LL res=0;
    for(int i=0; i<1<<(n-n2); i++)
    {
        LL sw=0,sv=0;
        for(int j=0; j<n-n2; j++)
        {
            if(i>>j&1)
            {
                sw+=w[n2+j];
                sv+=v[n2+j];
            }
        }
        if(sw<=W)
        {
            LL ans=(lower_bound(vec,vec+m,make_pair(W-sw,inf))-1)->second;
            res=max(res,sv+ans);
        }
    }
    printf("%lld\n",res);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%lld",&n,&W))
    {
        //printf("%d\n",1<<(maxn/2));
        for(i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&w[i],&v[i]);
        }
        solve();
        //printf("%lld\n",w[n-1]*v[n-1]);
    }
    return 0;
}

超大背包（挑战编程之01背包）

原文：http://blog.csdn.net/u013050857/article/details/43376683