九度OJ 1085 清华大学2010机试《求root(N,k)》

    N<k时，root(N,k) = N，否则，root(N,k) = root(N‘,k)。N‘为N的k进制表示的各位数字之和。输入x,y,k，输出root(x^y,k)的值 (这里^为乘方，不是异或)，2=<k<=16，0<x,y<2000000000，有一半的测试点里 x^y 会溢出int的范围(>=2000000000) 

    每组测试数据包括一行，x(0<x<2000000000), y(0<y<2000000000), k(2<=k<=16)

    输入可能有多组数据，对于每一组数据，root(x^y, k)的值

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此题需要一些数学推导：

N=a0+a1*k+a2*k^2+……+an*k^n;

N‘=a0+a1+a2+……+an;

N-N‘=a1*(k-1)+a2*(k^2-1)+……+an*(k^n-1);

        提取(k-1)有: (N-N‘)%(K-1)=0;
        继续递推下去有：(N-N‘)%(k-1) =0；
                                    (N‘-N‘‘)%(k-1)=0;
                                      ……
                                      (N(r-1)-N(r))%(k-1)=0；
        相加有：(N-N(r))%(k-1)=0,N(r)是我们要求的结果，故有N(r) = N % (k-1);
        如果 N(r)==0 ,则 N(r) = k-1;

求x^y需要用到快速幂

分解x的y次变为若干个x的2^k次的积，如2^31 = 2^1*2^2*2^4*2^8*2^16, 并尽可能减少分解结果的个数，这即是求b的二进制数。各个二进制位为1的数位所代表的权重就是分解的结果。

可以将y表示成二进制数，二进制为1时乘以相应的权重，更新x为下一位对应的权重，并且右移y的循环执行此步骤直到完毕

        int tmp=1;
	while(y != 0)
	{
		if((y & 1) == 1)
			tmp = (tmp*x)%k;
		x = (x*x)%k;
		y = y>>1;		
	}
	return tmp;

int ans = 1;
while(x != 0)
{
    if(x%2 == 1)
        ans = (ans*x)%k;
    y /= 2;
    x = (x*x)%k;
}

(a+b)mod m=((a mod m)+(b mod m))mod m;

a*b mod m=(a mod m)*(b mod m) mod m;

a^b mod m=(a mod m)^b mod m;

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

long long int Func(long long int x,long long int y, long long int k)
{
	long long int tmp=1;
	while(y != 0)
	{
		if((y & 1) == 1)
			tmp = (tmp*x)%k;
		x = (x*x)%k;
		y = y>>1;		
	}
	return tmp;
}
int main()
{
	long long int x = 0,y = 0,ans = 0;
	long long int k = 0;
		
	while(cin>>x>>y>>k)
	{
		ans = Func(x,y,k-1);
		if(ans == 0)
			ans = k-1;
		cout<<ans<<endl;
	}
        return 0;
}