调和数

调和（级）数可以指跟约数和有关的整数欧尔调和数。在数学上，第n个调和数是首n个正整数的倒数和，即

它也等于这些自然数的调和平均值的倒数的倍。它可以推广到正整数的倒数的幂之和，即。

调和数的性质

根据定义，调和数满足递推关系

它也满足恒等式

计算

对于第n项调和数，有以下公式

设:，由此得到

对于调和数，当n不是太大时，可以直接计算。

当n特别大时，可以进行估算。

因为

由此得到

当n越大时，估算越精确。

更精确的估算是

其中是第k项伯努利数。

由估算看来，调和数是发散的，即： H_n 在n趋于无穷时没有极限

很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的。他的方法很简单：

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...

1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...

注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为1/2，这样的1/2有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调合级数也是发散的。

广义调和数

广义调和数满足

由此，我们得到

对于任意两个正整数p和q，并且p＜q，我们有

微积分

对于每一个大于0的x，有

由此，得

对于每一个n，有

其他数列

根据定义，其他类似于调和数的数列有以下计算方法：

调和数

原文：http://www.cnblogs.com/yaoyueduzhen/p/4340140.html