动态规划 0-1背包问题

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。
（能够从底向上递推的重要原因就是：最优子结构+无后效性 ）

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

package com.algorithm;
//动态规划解决01背包问题

/*
* 测试数据
* 背包最多能装10公斤物品，现有3件物品，
* 重量和价值分别为
* 3， 4
* 4， 5
* 5， 6
*/
public class Backpack_01 {

private static int capacity = 10;//背包容量
private static int num_items = 3;//物品数量

public static void main(String[] arg){
int[] weigth ={3,4,5};
int[] value ={4,5,6};

int[][] max = new int[num_items+1][capacity+1];
//initial array
for(int i=0;i<=num_items;i++){
for(int j=0;j<capacity;j++){
max[i][j]=0;
}
}
//
for(int i=1;i<=num_items;i++){
for(int j=1;j<=capacity;j++){
if(j<weigth[i-1]){
//当前物品装不下时，背包最大价值还是等于原来
max[i][j]=max[i-1][j];
}else{
//是否装当前物品，取决于两者间的最大价值
max[i][j]=Math.max(max[i-1][j-weigth[i-1]]+value[i-1], max[i-1][j]);
}
}
}
System.out.println("背包最大价值为： "+max[num_items][capacity]);
}
}

动态规划 0-1背包问题

原文：http://www.cnblogs.com/gaoxiangde/p/4356353.html