[问题2014S01] 解答 因为 f(x_1,\cdots,x_n) 为 2 次 n 元对称多项式, 故 f(x_1,\cdots,x_n)=a\sum_{i=1}^nx_i^2+2c\sum_{1\leq i<j\leq n}x_ix_j+d\sum_{i=1}^nx_i+e, 其中 a,c,d,e 为实数且 a,c 中至少有一个非零.
根据数学分析中的定理, 可微函数达到极值点的必要条件是关于未定元的导数为零, 因此我们得到最值点的集合 S 包含在下列线性方程组的解空间中, 其中第 i 个方程是 f(x_1,\cdots,x_n) 关于未定元 x_i 的导数: \begin{cases} 2ax_1+2cx_2+\cdots+2cx_n=-d, \\ 2cx_1+2ax_2+\cdots+2cx_n=-d, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ 2cx_1+2cx_2+\cdots+2ax_n=-d. \end{cases}
上述线性方程组系数矩阵 A 的行列式值为: |A|=\begin{vmatrix} 2a & 2c & \cdots & 2c \\ 2c & 2a & \cdots & 2c \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 2c & 2c & \cdots & 2a \end{vmatrix}=2^n\Big(a+(n-1)c\Big)(a-c)^{n-1}.
(1) 若 a=c , 则 f=a\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)^2+d\Big(\sum_{i=1}^nx_i\Big)+e, 此时能取到最值的点有无穷多个, 这与 S 是有限集合矛盾.
(2) 若 a+(n-1)c=0 , 即 a=-(n-1)c , 则 f=-c\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^2+d\sum_{i=1}^nx_i+e. 若 d\neq 0 , 当 x_1=x_2=\cdots=x_n 时, f 的取值可以充分大和充分小, 从而 f 没有最值, 这与 S 是非空集合矛盾; 若 d=0 , 当 x_1=x_2=\cdots=x_n 时, f 有最值 e , 但这与 S 是有限集合矛盾.
综上 |A|\neq 0 , 即 A 是非异阵. 容易验证 A\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}=2\Big(a+(n-1)c\Big)\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix},\,\,A^{-1}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}=\frac{1}{2\Big(a+(n-1)c\Big)}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}.
于是 S 中只有一个点, 其坐标满足: \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}=A^{-1}\begin{bmatrix}-d\\ -d\\ \vdots \\ -d \end{bmatrix}=\frac{-d}{2\Big(a+(n-1)c\Big)}\begin{bmatrix}1\\ 1\\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}.\quad\Box
原文：http://www.cnblogs.com/torsor/p/3594572.html