求网络流有很多算法，这几天学习了两种，记录一下EK算法。
首先是网络流中的一些定义：
V表示整个图中的所有结点的集合.
E表示整个图中所有边的集合.
G = (V,E) ,表示整个图.
s表示网络的源点,t表示网络的汇点.
对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0)，如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。相反，如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0.
对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).
一个简单的例子.网络可以被想象成一些输水的管道.括号内右边的数字表示管道的容量c,左边的数字表示这条管道的当前流量f.
网络流的三个性质：
1、容量限制: f[u,v]<=c[u,v]
2、反对称性：f[u,v] = - f[v,u]
3、流量平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流量和。
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.
最大流问题，就是求在满足网络流性质的情况下，源点 s 到汇点 t 的最大流量。
求一个网络流的最大流有很多算法 这里首先介绍 增广路算法（EK）
学习算法之前首先看了解这个算法中涉及到的几个图中的定义：
**残量网络
为了更方便算法的实现，一般根据原网络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量网络的容量。
r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)
通俗地讲：就是对于某一条边（也称弧），还能再有多少流量经过。
Gf 残量网络,Ef 表示残量网络的边集.
这是上面图的一个残量网络。残量网络（如果网络中一条边的容量为0,则认为这条边不在残量网络中。
r(s,v1)=0,所以就不画出来了。另外举个例子：r(v1,s) = c(v1,s) – f(v1,s) = 0 – (-f(s,v1)) = f(s,v1) = 4.
其中像(v1,s)这样的边称为后向弧,它表示从v1到s还可以增加4单位的流量。
但是从v1到s不是和原网络中的弧的方向相反吗？显然“从v1到s还可以增加4单位流量”这条信息毫无意义。那么，有必要建立这些后向弧吗？
显然，第1个图中的画出来的不是一个最大流。
但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最大流。
注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。
如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。
**从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误的行为（让2单位的流从v1流到v2)
注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向弧与前向弧并无区别.
**增广路
增广路定义：在残量网络中的一条从s通往t的路径，其中任意一条弧(u,v)，都有r[u,v]>0。
如图绿色的即为一条增广路。
看了这么多概念相信大家对增广路算法已经有大概的思路了吧。
**增广路算法
增广路算法：每次用BFS找一条最短的增广路径，然后沿着这条路径修改流量值（实际修改的是残量网络的边权）。当没有增广路时，算法停止，此时的流就是最大流。
**增广路算法的效率
设n = |V|, m = |E|
每次增广都是一次BFS,效率为O(m),而在最坏的情况下需要（n-2增广。（即除源点和汇点外其他点都没有连通，所有点都只和s与t连通）
所以,总共的时间复杂度为O(m*n)，所以在稀疏图中效率还是比较高的。
hdoj 1532是一道可以作为模板题目练手。
模板代码：（邻接矩阵实现）
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 300;
const int MAX = 0x3f3f3f3f;
int map[N][N];
int flow[N][N];
int a[N],p[N];
int Ford_fulkerson(int s,int t)
{
queue<int> qq;
memset(flow,0,sizeof(flow));
int f=0,u,v;
while(1)
{
memset(a,0,sizeof(a));
a[s]=MAX;
qq.push(s);
while(!qq.empty())
{
u=qq.front();qq.pop();
for(v=1;v<=t;v++)
{
if(!a[v]&&map[u][v]>flow[u][v])//找到新结点v
{
p[v]=u;qq.push(v);//记录v的父亲，并加入FIFO队列
a[v]=a[u]<map[u][v]-flow[u][v]?a[u]:map[u][v]-flow[u][v];//a[v]为s-v路径上的最小流量
}
}
}
if(a[t]==0)
return f;
for(int i=t;i!=s;i=p[i])
{
flow[i][p[i]]-=a[t];
flow[p[i]][i]+=a[t];
}
f+=a[t];
}
}
int main()
{
int n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
memset(map,0,sizeof(map));
for(int i=0;i<n;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
map[x][y]+=z;
}
printf("%d\n",Ford_fulkerson(1,m));
}
}网络流之最大流算法（EdmondsKarp）,布布扣,bubuko.com
原文：http://blog.csdn.net/y990041769/article/details/21026445