给定（可能有负的）整数A1，A2，…，AN，求Ai，…，Aj和的最大值。
例如：输入4，-3，5，-2，-1，2，6，-2，最大子序列和为11（从A1到A7）。
算法1：最直观的算法，穷举式地尝试所有可能。下标变量i表示子序列的开始位置，j表示结束位置，每次选定一个子序列Ai--Aj，再使用k遍历该子序列求子序列的和。代码如下：
public static int maxSubSum1(int a[]){ ????????int maxSum=0; ???????? ????????for(int i=0;i<a.length;i++) ????????????for(int j=i;j<a.length;j++){ ????????????????int thisSum=0; ???????????????? ????????????????for(int k=i;k<=j;k++) ????????????????????thisSum+=a[k]; ???????????????? ????????????????if(thisSum>maxSum){ ????????????????????maxSum=thisSum; ????????????????} ????????????} ????????return maxSum; } |
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复杂度分析：最外层的for循环大小为N，第二个for循环大小为N-i，假设为最坏的情况即为N，这可能会让最终的界有些大，但不影响结果。第三个循环的大小为j-i+1，我们也假设为N，因此总数为O(1·N·N·N)=O(N3)。
算法2：从算法1可看出，j其实是从i递增的，因而在内部再遍历一次多余，所以可撤除最内层的for循环来避免三次的运行时间，显然改进后的算法复杂度为O(N2)，代码如下：
public static int maxSubSum2(int[] a){ ????????int maxSum=0; ????????for (int i = 0; i < a.length; i++) { ????????????int thisSum=0; ????????????for(int j=i;j<a.length;j++){ ????????????????thisSum+=a[j]; ????????????????if(thisSum>maxSum) ????????????????????maxSum=thisSum; ????????????} ????????} ????????return maxSum;???? ????} |
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算法3：考虑使用分治法解决该问题。最大子序列出现的位置可能有3种情况，或者全部出现在左半部，或者全部出现在右半部，或者跨越中部从而位于左右两半部分之中。前两种情况可以递归求解，第三种情况可以通过求出前半部分（包括前半部分最后一个元素）的最大和以及后半部分（包括后半部分第一个元素）的最大和，将两者相加即可得到。
public static int maxSubSum3(int[] a){ ????????return maxSumRec(a, 0, a.length-1); ????} ???? ? ????private static int maxSumRec(int[] a,int left,int right){ ???????? ????????if(left==right) //base class ????????????if(a[left]>0){ ????????????????return a[left]; ????????????}else{ ????????????????return 0; ????????????} ????????int center=(left+right)/2; ????????//左边和右边最大值，递归求解 ????????int maxLeftSum=maxSumRec(a, left, center); ????????int maxRightSum=maxSumRec(a, center+1, right); ???????? ????????int maxLeftBorderSum=0,leftBorderSum=0; ????????//累加求左边界和 ????????for(int i=center;i>=left;i--) ????????{ ????????????leftBorderSum+=a[i]; ????????????if(leftBorderSum>maxLeftBorderSum){ ????????????????maxLeftBorderSum=leftBorderSum; ????????????} ????????} ???????? ????????int maxRightBorderSum=0,rightBorderSum=0; //累加求右边界和 ????????for(int i=center+1;i<=right;i++){ ????????????rightBorderSum+=a[i]; ????????????if(rightBorderSum>maxRightBorderSum){ ????????????????maxRightBorderSum=rightBorderSum; ????????????} ????????} ???????? ????????return max3(maxLeftSum,maxRightSum, maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum); ????} private static int max3(int a,int b,int c){ ????????int max; ????????max=a>b?a:b; ????????max=max>c?max:c; ????????return max; ????} |
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算法分析：在遍历求maxLeftBorderSum和maxRightBorderSum时，两个for循环合起来花费的时间为O(N)，而在递归求maxLeftSum和maxRightSum时，实质是在分别求解N/2的子序列问题（假设N是偶数），所以每个递归花费T(N/2)个时间单元，因此有递归方程：T(1)=1，T(N)=2T(N/2)+O(N)。因此有，T(2)=4=2*2，T(4)=12=4*3，T(8)=32=8*4，以及T(16)=80=16*5，可以推出，若N=2k，有T(N)=N*(k+1)=NlogN+N=O(NlogN)。（当N不是2的幂时，分析会复杂些，但是大O的结果是不变的）
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算法4：可以发现，负数不可能为最优子序列（和最大的子序列）的起点，因此可以推出，任何负的子序列（和为负，形如[4，-5]）不可能是最优子序列的前缀。如果在内循环中检测到从a[i]到a[j]的子序列是负的，那么可以把它一直推进到j+1，如6，1，2，-10，1，可以推进到-10后的1，舍弃6到-10，在程序中通过将thisSum置零实现推进。该算法复杂度为O(N)，很明显可以看出。
public int maxSubSum4(int[] a){ ????????int maxSum=0,thisSum=0; ????????for(int i=0;i<a.length;i++){ ????????????thisSum+=a[i]; ???????????? ????????????if(thisSum>maxSum){ ????????????????maxSum=thisSum; ????????????}else if(thisSum<0){ ????????????????thisSum=0;???? ????????????}???????????? ????????} ????????return maxSum; ????} |
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总结：算法1、2想法简单粗暴，复杂度较高，算法3需要理解递归分治的思想，算法4需要一定的技巧，是很多聪明算法的典型，而且算法4只需对数据进行一次扫描，一旦a[i]被读入且被处理后，就不再需要被记忆，在任意时刻，算法4能对已经读入的数据给出子序列问题的正确答案（其他算法不具有该特性），具有这种特性的算法叫做联机算法（on-line algorithm）。仅需常量空间并以线性时间运行的联机算法几乎是完美的算法。
注：本文参考自Mark Allen Weiss的Data Structures and Algorithm Analysis in Java.
最大子序列和(Max Subsequence Sum)问题求解
原文：http://www.cnblogs.com/damon-ly/p/4415762.html