深度学习方法：受限玻尔兹曼机RBM（三）模型求解，Gibbs sampling

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接下来重点讲一下RBM模型求解方法，其实用的依然是梯度优化方法，但是求解需要用到随机采样的方法，常见的有：Gibbs Sampling和对比散度(contrastive divergence, CD[8])算法。

RBM目标函数

假设给定的训练集合是$S = \{v^i\}$，总数是$n_s$，其中每个样本表示为$\textbf{v}^{i} = (v_1^i, v_2^i, \dots , v_{n_v}^i)$，且都是独立同分布i.i.d的。RBM采用最大似然估计，即最大化

$$\begin{equation} \ln L_S = \ln \prod_{i=1}^{n_s}P(\textbf{v}^i) = \sum_{i=1}^{n_s}\ln P(\textbf{v}^i) \end{equation}$$

参数表示为$\theta = (W, \textbf{a}, \textbf{b})$，因此统一的参数更新表达式为：

$$\begin{equation} \theta = \theta + \eta\frac{\partial \ln L_S}{\partial \theta} \end{equation}$$
其中，$\eta$表示学习速率。因此，很明显，只要我们可以求解出参数的梯度，我们就可以求解RMB模型了。我们先考虑任意单个训练样本（$\textbf{v}^0$）的情况，即
$$\begin{equation} L_S = \ln P(\textbf{v}^0) =\ln(\frac{1}{Z}\sum_{\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v}^0,\textbf{h})})\=\ln\sum_{\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v}^0,\textbf{h})} - \ln \sum_{\textbf{v},\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v},\textbf{h})} \end{equation}$$
其中$\textbf{v}$表示任意的训练样本，而$\textbf{v}^0$则表示一个特定的样本。

$$\begin{equation} \frac{\partial L_S}{\partial \theta} = \frac{\partial\ln P(\textbf{v}^0)}{\partial \theta}\=\frac{\partial}{\partial\theta}(\ln\sum_{\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v}^0,\textbf{h})}) - \frac{\partial}{\partial\theta}(\ln \sum_{\textbf{v},\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v},\textbf{h})})\=-\frac{1}{\sum_{\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v}^0,\textbf{h})}}\sum_{\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v}^0,\textbf{h})}\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial\theta} + \frac{1}{\sum_{\textbf{v},\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v},\textbf{h})}}\sum_{\textbf{v},\textbf{h}}e^{-E(\textbf{v},\textbf{h})}\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial\theta}\=-\sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v}^0)\frac{\partial E(\textbf{v}^0,\textbf{h})}{\partial\theta} + \sum_{\textbf{v},\textbf{h}}P(\textbf{h},\textbf{v})\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial\theta} \end{equation}$$

上面式子的两个部分的含义是期望——左边是梯度$\frac{\partial E(\textbf{v}^0,\textbf{h})}{\partial\theta}$在条件概率分布$P(\textbf{h}|\textbf{v}^0)$下的期望；右边是梯度$\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial\theta}$在联合概率分布$P(\textbf{h},\textbf{v})$下的期望。要求前面的条件概率是比较容易一些的，而要求后面的联合概率分布是非常困难的，因为它包含了归一化因子$Z$（对所有可能的取值求和，连续的情况下是积分），因此我们采用一些随机采样来近似求解。把上面式子再推导一步，可以得到，

$$\begin{equation} \frac{\partial L_S}{\partial \theta} =-\sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v}^0)\frac{\partial E(\textbf{v}^0,\textbf{h})}{\partial\theta} + \sum_{\textbf{v}}P(\textbf{v})\sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v})\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial\theta} \end{equation}$$

因此，我们重点就是需要就算$\sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v})\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial\theta}$，特别的，针对参数$W, \textbf{a}, \textbf{b}$来说，有

$$\begin{equation} \sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v})\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial w_{ij}}= -\sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v})h_i v_j\=-\sum_{\textbf{h}}P(h_i|\textbf{v})P(h_{-i}|\textbf{v})h_i v_j\=-\sum_{h_i}P(h_i|\textbf{v})\sum_{h_{-i}}P(h_{-i}|\textbf{v})h_i v_j\=-\sum_{h_i}P(h_i|\textbf{v})h_i v_j\=-(P(h_i=1|\textbf{v})\cdot 1 \cdot v_j + P(h_i=0|\textbf{v})\cdot 0 \cdot v_j)\=-P(h_i=1|\textbf{v}) v_j \end{equation}$$

类似的，我们可以很容易得到：

$$\begin{equation} \sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v})\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial a_i}=-v_i \end{equation}$$

$$\begin{equation} \sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v})\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial b_j}=-P(h_i=1|\textbf{v}) \end{equation}$$

于是，我们很容易得到，

$$\begin{equation} \frac{\partial \ln P(\textbf{v}^0)}{\partial w_{ij}} = -\sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v}^0)\frac{\partial E(\textbf{v}^0,\textbf{h})}{\partial w_{ij}} + \sum_{\textbf{v}}P(\textbf{v})\sum_{\textbf{h}}P(\textbf{h}|\textbf{v})\frac{\partial E(\textbf{v},\textbf{h})}{\partial w_{ij}}\=P(h_i=1|\textbf{v}^0) v_j^0 - \sum_{\textbf{v}}P(\textbf{v})P(h_i=1|\textbf{v}) v_j \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{\partial \ln P(\textbf{v}^0)}{\partial a_i} = v_i^0 - \sum_{\textbf{v}}P(\textbf{v}) v_i \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{\partial \ln P(\textbf{v}^0)}{\partial b_i} = P(h_i=1|\textbf{v}^0) - \sum_{\textbf{v}}P(\textbf{v})P(h_i=1|\textbf{v}) \end{equation}$$

上面求出了一个样本的梯度，对于$n_s$个样本有

$$\begin{equation} \frac{\partial L_S}{\partial w_{ij}} =\sum_{m=1}^{n_s}\left[P(h_i=1|\textbf{v}^m) v_j^m - \sum_{\textbf{v}}P(\textbf{v})P(h_i=1|\textbf{v}) v_j\right] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{\partial L_S}{\partial a_i} = \sum_{m=1}^{n_s}\left[v_i^m - \sum_{\textbf{v}}P(\textbf{v}) v_i\right] \end{equation}$$

$$\begin{equation} \frac{\partial L_S}{\partial b_i} = \sum_{m=1}^{n_s}\left[P(h_i=1|\textbf{v}^m) - \sum_{\textbf{v}}P(\textbf{v})P(h_i=1|\textbf{v}) \right] \end{equation}$$

到这里就比较明确了，主要就是要求出上面三个梯度；但是因为不好直接求概率分布$P(\textbf{v})$，前面分析过，计算复杂度非常大，因此采用一些随机采样的方法来得到近似的解。看这三个梯度的第二项实际上都是求期望，而我们知道，样本的均值是随机变量期望的无偏估计。

Gibbs Sampling

很多资料都有提到RBM可以用Gibbs Sampling来做，但是具体怎么做不讲（是不是有点蛋疼？），可能很多人也不清楚到底怎么做。下面稍微介绍一下。

吉布斯采样（Gibbs sampling），是MCMC方法的一种，具体可以看我前面整理的随机采样MCMC的文章。总的来说，Gibbs采样可以从一个复杂概率分布$P(X)$下生成数据，只要我们知道它每一个分量的相对于其他分量的条件概率$P(X_k|X_{-k})$，就可以对其进行采样。而RBM模型的特殊性，隐藏层神经元的状态只受可见层影响（反之亦然），而且同一层神经元之间是相互独立的，那么就可以根据如下方法依次采样：

也就是说$h_i$是以概率$P(h_i|\textbf{v}_0)$为1，其他的都类似。这样当我们迭代足够次以后，我们就可以得到满足联合概率分布$P(\textbf{v},\textbf{h})$下的样本$(\textbf{v},\textbf{h})$，其中样本$(\textbf{v})$可以近似认为是$P(\textbf{v})$下的样本，下图也说明了这个迭代采样的过程：

有了样本$(\textbf{v})$就可以求出上面写到的三个梯度（$\frac{\partial L_S}{\partial w_{ij}} ,\frac{\partial L_S}{\partial a_i} ,\frac{\partial L_S}{\partial b_i}$）了，用梯度上升就可以对参数进行更新了。

看起来很简单是不是？但是问题是，每一次gibbs采样过程都需要反复迭代很多次以保证马尔科夫链收敛，而这只是一次梯度更新，多次梯度更新需要反复使用gibbs采样，使得算法运行效率非常低。为了加速RBM的训练过程，Hinton等人提出了对比散度（Contrastive Divergence）方法，大大加快了RBM的训练速度，将在下一篇重点讲一下。

OK，本篇先到这里。平时工作比较忙，加班什么的（IT的都这样），晚上回到家比较晚，每天只能挤一点点时间写，写的比较慢，见谅。RBM这一块可以看的资料很多，网上一搜一大堆，还包括hinton的一些论文和Bengio的综述[9]，不过具体手写出来的思路还是借鉴了[7]，看归看，我会自己推导并用自己的语言写出来，大家有什么问题都可以留言讨论。下一篇最后讲一下CD算法，后面有时间再拿code出来剖析一下。

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参考资料
[1] http://www.chawenti.com/articles/17243.html
[2] 张春霞，受限波尔兹曼机简介
[3] http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/27/2984725.html
[4] http://deeplearning.net/tutorial/rbm.html
[5] Asja Fischer, and Christian Igel，An Introduction to RBM
[6] G.Hinton, A Practical Guide to Training Restricted Boltzmann Machines
[7] http://blog.csdn.net/itplus/article/details/19168937
[8] G.Hinton, Training products of experts by minimizing contrastive divergence, 2002.
[9] Bengio, Learning Deep Architectures for AI, 2009