证明：如果矩阵A的列向量组线性无关，则矩阵ATA可逆

证明：如果矩阵A的列向量组线性无关，则矩阵A^TA可逆

设A^TAX=0，如果A^TA可逆，则A^TAX=0有唯一解X=0，即X为零向量。

因此，原命题的证明等价于证明“如果矩阵A的列向量组线性无关，则A^TAX=0有唯一解X=0”。

令X^TA^TAX=0，则有(AX)^TAX=0。由(AX)^TAX=0可知AX是零向量，其中X是A^TAX=0的解。

设A = [a₁ a₂ … a_n]，X=[x₁ x₂ … x_n]^T，因为A的列向量组线性无关，所以令x₁a₁+x₂a₂+…+x_na_n=0成立的唯一解是x₁,…x_n全为0，即X=0，X为零向量（注意X是A^TAX=0的解）。

证毕。

证明：如果矩阵A的列向量组线性无关，则矩阵ATA可逆

原文：http://my.oschina.net/JiamingMai/blog/412909