Noip2006 2^k进制数题解

• 题目描述 Description
  设r是个$2^k$进制数，并满足以下条件：
  （1）r至少是个2位的$2^k$进制数。
  （2）作为2k进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
  （3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。
  在这里，正整数k（$1≤k≤9$）和$w（k<W≤30000）$是事先给定的。
  问：满足上述条件的不同的r共有多少个？

• 我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的$2^k$进制数r。
  例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：
  2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。
  3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。
  所以，满足要求的r共有36个。

• 输入描述 Input Description
  只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
  k W

• 输出描述 Output Description
  共1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。
  （提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

• 样例输入 Sample Input
  3 7

• 样例输出 Sample Output
  36

题解

• 本题看似很抽象，但题目描述中的“另一个角度”已把本题的特点揭露无遗。这个$2^k$进制数最多能有$s=(w+k)/k$位，且最高位的值不超过$m =2^{w\mod k}-1$。（当w可整除k时，虽然s多算了一位，但此时最高位的最大值m的值为0，不影响正确答案）
  这就是条件1和条件3的含义。

• 就剩条件2了，它本质上是告诉我们递推关系。有两种思路：

• 第一种，用$f(i,j)$代表长度为$i$且最右边一位不超过$j$的数的个数，则有$f(i,j)=f(i,j-1)+f(i-1,j-1)$，即$f(i,j)=$最右边一位不是$j$的方案数$f(i,j-1)$加上最右边一位是$j$的方案数$f(i-1,j-1)$
  答案$ans=\Sigma_{i=2}^{s-1} f[i][2^k - 1]+\Sigma_{i=1}^{m}f[s-1][n-i]$。
  相当于长度小于s的最高位不超过$2^k-1$的数的个数加上长度等于s的最高位不超过m的数的个数。
  这里$f[s-1][n-i]$的意思是长为s的数已确定最高位为$i$，还剩$s-1$位。这些位的数字可以是$(i+1,i+2,...,n)$，共$n-i$个数，所以长为$s-1$，最左边为$i+1$而最右边不超过$n$的数的个数与最左边为1而最右边为$n-i$的数的个数相同，为$f[s-1][n-i]$。

• 第二种用到组合的思想，实际上$f(i,j)$是一个组合数，剩下的可以结合网上别人的资料脑补了。

• Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 100000000;
int k, w;
int m, n, s;
//又一坨高精，因为只涉及加法，所以用int压8位
struct highNum
{
    int num[27];
    highNum(int length = 1)
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
        num[0] = length;
    }
    highNum operator = (int b)
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
        num[0] = 1; num[1] = b;
        int ret = num[1] / M, iter = 1;;
        while(ret != 0)
        {
            num[iter] %= M;
            num[++iter] += ret;
            ret = num[iter] / M;
        }
        while(num[num[0] + 1] != 0) ++num[0];
        return *this;
    }
    highNum operator + (highNum& b) const
    {
        highNum c = highNum(max(num[0], b.num[0]));
        for(int i = 1; i <= c.num[0]; ++i)
        {
            c.num[i] += num[i] + b.num[i];
            c.num[i + 1] += c.num[i] / M;
            c.num[i] %= M;
        }
        while(c.num[c.num[0] + 1] != 0) ++c.num[0];
        return c;
    }
};
ostream& operator << (ostream& o, highNum& b)
{
    o << b.num[b.num[0]];
    o.setf(ios::fixed);
    for(int i = b.num[0] - 1; i >= 1; --i)
    {
        o.width(8);      //这些东西一定要紧跟在输出之前
        o.fill(‘0‘);
        o << b.num[i];
    }
    return o;
}
highNum ans, f[600][514];
//按题意，当w=30000而k=2时，f[a][514]中的a要很大，但数据要求a不超过600（不要问我是怎么知道的）
void init()
{
    cin >> k >> w;
    s = (w + k) / k;
    m = (1 << (w % k)) - 1;
    n = (1 << k) - 1;
}
void work()
{
    for(int i = 1; i <= n; ++i) f[1][i] = i;
    for(int i = 2; i <= s; ++i) for(int j = i; j <= n; ++j)
        f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i][j - 1];
    for(int i = 2; i < s; ++i) ans = ans + f[i][n];
    for(int i = 1; i <= m; ++i) ans = ans + f[s - 1][n - i];
    cout << ans;
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}