武汉大学2014年高等代数考研试题参考解答

 1. 设 $\dps{A=\sex{\ba{cccc} 1&2&&\\ 1&3&&\\ &&0&2\\ &&-1&0 \ea}}$ , 且 $\dps{\sez{\sex{\frac{1}{2}A}^*}^{-1}BA=6AB+12E}$ . 求 $B$ .

解答: (1) 先给出几个性质:

$$\beex \bea \det\sex{\ba{cc} X&\\ &Y \ea} &=\det X\cdot \det Y,\\ \sex{\ba{cc} X&\\ &Y \ea}\sex{\ba{cc} U&\\ &V \ea} &=\sex{\ba{cc} XU&\\ &YV \ea},\\ \sex{\ba{cc} U&\\ &V \ea}^{-1}&=\sex{\ba{cc} U^{-1}&\\ &V^{-1} \ea}. \eea \eeex$$ (2) 再做题目. $$\beex \bea &\quad \sez{\sex{\frac{1}{2}A}^*}^{-1}BA=6AB+12E\\ &\ra BA=\frac{1}{2}A^*\cdot 6AB+\frac{1}{2}A^*\cdot 12 E =3|A|B+6A^*=6B+6A^*\\ &\ra B(A-6E)=6A^*\\ &\ra B=6A^*(A-6E)^{-1} =6|A|A^{-1}(A-6E)^{-1} =12[(A-6E)\cdot A]^{-1}\\ &\quad\quad \ =12\sex{\ba{cccc} \sex{\ba{cc} -5&2\\ 1&-3 \ea}\sex{\ba{cc} 1&2\\ 1&3 \ea}&\\ &\sex{\ba{cc} -6&2\\ -1&-6 \ea}\sex{\ba{cc} 0&2\\ -1&0 \ea} \ea}^{-1}\\ &\quad\quad \ =12\sex{\ba{cccc} -3&-4&&\\ -2&-7&&\\ &&-2&-12\\ &&6&-2 \ea}^{-1}=12\sex{\ba{cccc} -\cfrac{7}{13}&\cfrac{4}{13}&&\\ \cfrac{2}{13}&-\cfrac{3}{13}&&\\ &&-\cfrac{1}{38}&\cfrac{3}{19}\\ &&-\cfrac{3}{38}&-\cfrac{1}{38} \ea}. \eea \eeex$$

 

 

 

2. 计算 $\dps{D=\sev{\ba{ccccc} s_0&s_1&\cdots&s_{n-1}&1\\ s_1&s_2&\cdots&s_n&x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ s_n&s_{n+1}&\cdots&s_{2n-1}&x^n \ea}}$ , 其中 $\dps{s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k}$ .

解答:

$$\beex \bea D&=\sev{\sex{\ba{ccccc} 1&1&\cdots&1&1\\ x_1&x_2&\cdots&x_n&x\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}&x^{n-1}\\ x_1^n&x_2^n&\cdots&x_n^n&x^n \ea}\sex{\ba{ccccc} 1&x_1&\cdots&x_1^{n-1}&0\\ 1&x_2&\cdots&x_2^{n-1}&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&\cdots&x_n^{n-1}&0\\ 0&0&\cdots&0&1 \ea}}\\ &=\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)^2\cdot \prod_{k=1}^n (x-x_k). \eea \eeex$$

 

 

 

3. 设有向量组 $\al_1,\cdots,\al_s,\al_{s+1}$ 及 $\beta_i=\al_i+t_i\al_{s+1},\ i=1,2,\cdots,s$ . 证明: 如果 $\beta_1,\cdots,\beta_s$ 线性无关, 则 $\al_1,\cdots,\al_s,\al_{s+1}$ 也线性无关.

证明: 只能说题目有问题. 比如在 $\bbR^n\ (n\geq s)$ 中, 取

$$\bex \al_i=e_i\ (1\leq i\leq s),\quad \al_{s+1}=0,\quad t_i=0\ (1\leq i\leq s). \eex$$

 

 

 

4. 线性空间 $V$ 定义中的第 (3), (4) 条公理, 即

(3) $\forall \al\in V,\ \exists\ 0\in V,\st \al+0=0+\al=\al$ ;

(4) $\forall\ \al\in V,\ \exists\ \beta\in V,\st \al+\beta=0$ .

证明它们的等价条件为:

$$\bee\label{4:eq} \forall\ \al,\beta\in V,\ \exists\ \gamma\in V,\st \al+\gamma=\beta. \eee$$

证明: 记 (4) 中的 $\beta$ 为 $-\al$ .

(3), (4) $\ra \eqref{4:eq}$ : 取 $\gamma=\beta+(-\al)$ , 而有

$$\bex \al+\gamma=\al+(-\al)+\beta=0+\beta=\beta. \eex$$

$\eqref{4:eq}\ra$ (3), (4): 显然.

 

 

 

5. 设

$$\bex \mathfrak{sl}_n(\bbF)=\sed{AB-BA;A,B\in M_n(\bbF)}. \eex$$ 证明: $\dim \mathfrak{sl}_n(\bbF)=n^2-1$ .

证明: 易知 $\mathfrak{sl}_n(\bbF)$ 是一线性空间. 由

$$\beex \bea E_{ij}&=E_{ii}E_{ij}-E_{ij}E_{ii}\quad(i\neq j),\\ E_{11}-E_{ii}&=E_{1i}E_{i1}-E_{i1}E_{1i}\quad(2\leq i\leq n) \eea \eeex$$ 知 $$\bex \dim \mathfrak{sl}_n(\bbF)\geq n(n-1)+(n-1)=n^2-1. \eex$$ 又由 $\tr(AB-BA)=0$ 知 $E\not\in \mathfrak{sl}_n(\bbF)$ , 而 $$\bex \dim \mathfrak{sl}_n(\bbF)=n^2-1. \eex$$

 

 

 

6. 设数域 $\bbF$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 到 $m$ 维线性空间 $V‘$ 上的所有线性映射的全体构成空间 $\Hom_{\bbF}(V,V‘)$ . 证明:

(1) $\Hom_{\bbF}(V,V‘)$ 是线性空间;

(2) $\Hom_{\bbF}(V,V‘)$ 的维数为 $mn$ .

证明: 设 $\ve_1,\cdots,\ve_m$ 为 $V$ 的一组基, $\eta_1,\cdots,\eta_m$ 为 $V‘$ 的一组基, 则

$$\bex (f(\ve_1),\cdots,f(\ve_n))=(\eta_1,\cdots,\eta_m)\sex{\ba{ccc} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mn} \ea},\quad f\in \Hom_{\bbF}(V,V‘). \eex$$ 于是 $\Hom_{\bbF}(V,V‘)$ 线性同构于 $M_{m\times n}(\bbF)$ , 即有结论.

 

 

 

7. 已知

$$\bex F=\sex{\ba{cccccc} 0&&&&&-c_0\\ 1&0&&&&-c_1\\ &1&0&&&\vdots\\ &&1&\ddots&&-c_{n-3}\\ &&&\ddots&0&-c_{n-2}\\ &&&&1&-c_{n-1} \ea}. \eex$$

(1) 求 $F$ 的特征多项式 $f(x)$ 与最小多项式 $m(x)$ .

(2) 求所有与 $F$ 可交换的矩阵.

解答:

(1) 由

$$\beex \bea |\lm E-F|&=\sev{\ba{cccccc} \lm&&&&&c_0\\ -1&\lm&&&&c_1\\ &-1&\lm&&&\vdots\\ &&-1&\ddots&&c_{n-3}\\ &&&\ddots&\lm&c_{n-2}\\ &&&&-1&\lm+c_{n-1} \ea}\\ &=\lm \sev{\ba{cccccc} \lm&&&&&c_1\\ -1&\lm&&&&c_2\\ &-1&\lm&&&\vdots\\ &&-1&\ddots&&c_{n-3}\\ &&&\ddots&\lm&c_{n-2}\\ &&&&-1&\lm+c_{n-1} \ea}+(-1)^{1+n}\cdot c_0\cdot (-1)^{n-1}\\ &=\cdots\\ &=\lm^n+c_{n-1}\lm^{n-1}+\cdots +c_0. \eea \eeex$$ 由于 $\lm E-F$ 左下角有一个 $(n-1)\times(n-1)$ 的子式 $=(-1)^{n-1}$ , 而 $\lm E-F$ 的不变因子为 $$\bex \underbrace{1,\cdots,1}_{n-1\mbox{ 个}},\lm^n+c_{n-1}\lm^{n-1}+\cdots +c_0. \eex$$ 据性质: 最小多项式为最后一个不变因子, 我们有: $m(x)=\lm^n+c_{n-1}\lm^{n-1}+\cdots +c_0$ .

(2) 设 $A$ 与 $F$ 可交换, 则由

$$\beex \bea AF&=\sex{\ba{ccccc} a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}&-\dps{\sum_{k=1}^n c_{k-1}a_{1k}}\\ a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}&-\dps{\sum_{k=1}^n c_{k-1}a_{2k}}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn}&-\dps{\sum_{k=1}^n c_{k-1}a_{nk}} \ea},\\ FA&=\sex{\ba{ccccc} -c_0a_{n1}&-c_0a_{n2}&\cdots&c_0a_{nn}\\ a_{11}-c_1a_{n1}&a_{12}-c_1a_{n2}&\cdots&a_{1n}-c_1a_{nn}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n-1,1}-c_{n-1}a_{n1}&a_{n-1,2}-c_{n-1}a_{n2}&\cdots&a_{n-1,n}-c_{n-1}a_{nn} \ea} \eea \eeex$$ 知 $AF$ 知元为 $$\bex b_{ij}=\sedd{\ba{ll} a_{i,j+1},&1\leq i\leq n, 1\leq j\leq n-1,\\ -\dps{\sum_{k=1}^n c_{k-1}a_{ik}},&1\leq i\leq n, j=n; \ea} \eex$$ $FA$ 知元为 $$\bex c_{ij}=\sedd{\ba{ll} -c_0a_{nj},&i=1,1\leq j\leq n,\\ a_{i-1,j}-c_{i-1}a_{nj},&2\leq i\leq n, 1\leq j\leq n. \ea} \eex$$ 因此, $$\bex \sedd{\ba{ll} a_{1,j+1}&=-c_0a_{nj},\quad 1\leq j\leq n-1,\\ -\dps{\sum_{k=1}^n c_{k-1}a_{ik}}&=a_{i-1,n}-c_{i-1}a_{nn},\quad 2\leq i\leq n-1,\\ -\dps{\sum_{k=1}^n c_{k-1}a_{1k}}&=-c_0a_{nn},\\ a_{i,j+1}&=a_{i-1,j}-c_{i-1}a_{nj},\quad 2\leq i\leq n, 1\leq j\leq n-1. \ea} \eex$$ 解之得所有与 $F$ 可交换的矩阵为 $$\bex \sex{\ba{ccccc} a_{11}&-c_0a_{n1}&\cdots&-c_0a_{n,n-2}&-c_0a_{n,n-1}\\ a_{12}&a_{11}-c_1a_{n1}&\cdots&-c_0a_{n,n-3}-c_1a_{n,n-2}&-c_0a_{n,n-2}-c_1a_{n,n-1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n,n-1}&a_{nn} \ea}, \eex$$ 其中还需满足 $$\bex c_0a_{11}+c_1a_{12}+\cdots+c_{n-1}a_{1n}=c_0a_{nn}. \eex$$ 由此, 与 $F$ 可交换的矩阵全体构成 $M_{n\times n}$ 的一个 $\dps{\sedd{\ba{ll} 2(n-1),&\exists\ c_i\neq 0\\ 2n-1,&\forall\ c_i=0 \ea}}$ 维线性子空间.

 

 

 

8. 设 $\scrA$ 是复数域上线性空间 $V$ 上的线性变换, $\scrE$ 为恒等变换, $\lm$ 为 $\scrA$ 的一个特征值. 试证: $\lm_0$ 在 $\scrA$ 的最小多项式中的重数

$$\bex m_0=\min\sed{k\in\bbZ;\ \ker (\scrA-\lm_0\scrE)^k=\ker (\scrA-\lm_0\scrE)^{k+1}}. \eex$$

证明: 取定 $V$ 的一组基 $\ve_1,\cdots,\ve_n$ , 则 $\scrA$ 对应于一矩阵 $A$ . 设其 Jordan 标准型为

$$\bex J=\sex{\ba{ccc} J_1&&\\ &\ddots&\\ &&J_s \ea}, \eex$$ 其中 $J_i$ 为对应于 $A$ 的特征值 $\lm_i$ 的 Jordan 块; 注意: 不同的 Jordan 块的 $\lm_i$ 可能相同. 由于下最小多项式为最后一个不变因子, 据初等因子的构造即知 $\lm_0$ 对应的最大 Jordan 块, 不妨设为 $J_s$ (在最后几个 $J_i$ 中找), 其阶数为 $m_0=n_s$ . 又 $$\bex A-\lm_0E=\sex{\ba{ccc} J_1‘&&\\ &\ddots&\\ &&J_s‘ \ea},\quad (A-\lm_0E)^k=\sex{\ba{ccc} J_1‘^k&&\\ &\ddots&\\ &&J_s‘^k \ea}, \eex$$ 其中 $J_i‘=J_i-\lm_0E$ . 当 $\lm_i\neq \lm_0$ 时, 由对角线元素非零知 $J_i^kx=0\ (\forall\ k\geq 1)$ 只有零解, 特别地, $J_i^kx=0$ 与 $J_i^{k+1}x=0$ 同解; 而当 $\lm_i=\lm_0$ 时, 为使所有此时的 $J_i‘^kx=0$ 与 $J_i‘^{k+1}x=0$ 同解, 必须且仅须 $k\geq n_s$ . 逐步回归: $J‘$ , $J$ , $A$ , $\scrA$ , 我们即得结论.

 

 

 

9. 设 $f(\al,\beta)$ 为线性空间 $V$ 上的非退化双线性函数, 试证:

$$\bex \forall\ g\in V^*,\ \exists\ |\ \al\in V,\st f(\al,\beta)=g(\beta),\quad \forall\ \beta\in V. \eex$$

证明: (1) 唯一性: 设 $\tilde\al$ 也适合题意, 则

$$\beex \bea &\quad f(\al,\beta)=f(\tilde\al,\beta),\quad \forall\ \beta\in V\\ &\ra f(\al-\tilde\al,\beta)=0,\quad \forall\ \beta\in V\\ &\ra \al-\tilde\al=0\quad\sex{f\mbox{ 的非退化性}}. \eea \eeex$$ (2) 存在性: 取 $V$ 的一组基 $\ve_1,\cdots,\ve_n$ , 记 $a_{ij}=f(\ve_i,\ve_j)$ , 则对 $$\bex \al=\sum_{i=1}^n a_i\ve_i,\quad \beta=\sum_{i=1}^n b_i\ve_i, \eex$$ 有 $$\bex f(\al,\beta)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}a_ib_j=\al^tA\beta. \eex$$ 由 $f$ 非退化及 $$\beex \bea &\quad f(\al,\beta)=0,\quad \forall\ \beta\in V\\ &\lra \al^tA\beta=0,\quad\forall\ \beta\in V\\ &\lra \al^tA=0 \eea \eeex$$ 知 $A$ 可逆. 对 $g\in V^*$ , 取 $$\bex \al=(\ve_1,\cdots,\ve_n)(A^{-1})^t \sex{\ba{c} g(\ve_1)\\\vdots\\g(\ve_n) \ea}\in V, \eex$$ 则 $$\beex \bea f(\al,\beta)&=(g(\ve_1),\cdots,g(\ve_n)) A^{-1}\cdot A\cdot \sex{\ba{l} b_1\\ \vdots\\ b_n \ea}\\ &=\sum_{i=1}^n b_ig(\xi_i)\\ &=g(\beta),\quad \forall\ \beta\in V. \eea \eeex$$

 

 

 

10. 设 $\scrA$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换, 且 $\scrA^m=\scrE\ (m>1)$ . 记 $W_\scrA=\sed{\al\in V;\ \scrA\al=\al}$ , $W_\scrA^\perp$ 为其正交补, 而

$$\bex \forall\ \al\in V,\ \exists\ |\ \beta\in W_\scrA,\ \gamma\in W_\scrA^\perp, \st \al=\beta+\gamma. \eex$$ 试证: $$\bex \beta=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \scrA^{i-1}\al. \eex$$

证明: 设

$$\bex U=\sed{\al\in V;\al+\scrA\al+\cdots+\scrA^{m-1}\al=0}. \eex$$ 则对 $\forall\ \al\in V$ , $$\bex \al=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \scrA^{i-1}\al +\sex{\al-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \scrA^{i-1}\al} \equiv \beta+\gamma, \eex$$ 其中 $$\beex \bea \scrA(\beta)&=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \scrA^i\al\\ &=\frac{1}{m}(\scrA\al+\cdots+\scrA^{m-1}\al+\al)\\ &=\beta,\\ \gamma+\scrA\gamma+\cdots+\scrA^{m-1}\gamma &=\al+\scrA\al+\cdots+\scrA^{m-1}\al -\beta-\scrA\beta-\cdots-\scrA^{m-1}\beta\\ &=\al+\scrA\al+\cdots+\scrA^{m-1}\al-m\beta\\ &=0. \eea \eeex$$ 于是 $V=W_\scrA+U$ . 又由 $$\bex \al\in W_\scrA\cap U\ra 0=\al+\scrA\al+\cdots+\scrA^{m-1}\al =m\al\ra \al=0 \eex$$ 知 $V=W_\scrA\oplus U$ . 最后由 $$\beex \bea \al\in W_\scrA,\beta\in U &\ra \scrA\al=\al\quad\sex{\al=\scrA^{-1}\al=\scrA^t\al}\\ &\ra \sef{\al,\beta} =\sef{\scrA^t\al,\beta}=\cdots=\sef{(\scrA^t)^{m-1}\al,\beta}\\ &\quad\ =\frac{1}{m}\sef{\al+\scrA^t\al+\cdots+\sex{\scrA^{m-1}}^t\al,\beta}\\ &\quad\ =\frac{1}{m}\sef{\al,(\scrE+\scrA+\cdots+\scrA^{m-1})\beta}\\ &\quad\ =0 \eea \eeex$$ 知 $W_\scrA^\perp=U$ , 而有结论. 

 

来自: 第5卷第280期_武汉大学2014年高等代数考研试题参考解答[3483—3495]

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原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3608607.html