??其实我不知道我是否真的理解了FFT,但是我会用FFT优化多项式乘法了QAQ。。
(以下大多摘自算导
前置知识
1. 多项式
??在一个代数域F上,关于变量x的多项式定义为形式和形式表示的函数
2. 多项式的次数界
??若多项式有非零系数的最高次项为
3. 多项式的表示
(1)系数表示法
??对于一个次数界为n的多项式A(x)来说,其系数表示法可以看做是一个列向量
??另外,加法运算的时间复杂度是
(2)点值表示法
?? 有n个点
??已知点值表示求系数表示称为插值,用拉格朗日插值法可以做到
??若次数界为n的多项式A(x),B(x)的n个点的
进入正题。。
1. 单位复根
??n次单位复根是满足
平面的原点为圆心的单位圆上,为
??因为有
重要性质
相消引理
?? 对任何整数
?? 推论:对任意偶数
折半引理
?? 如果
求和引理
??对于任意整数
证明:
?? 原式
2. DFT
??A(x)是一个次数界为n的多项式,不失一般性地假定n是2的幂,因为
次数界总是可以增大的。有列向量
3. 快速傅里叶变换(FFT)
??FFT是一种可以在
是分治。
??定义
所有偶数下标的系数,
所以用
?? 求出
是范德蒙特矩阵。
定理:
证明:
??那么有
??写的时候发现非递归要比递归快很多。。
递归:
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<memory.h>
#define N 400010
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
struct complex{
double x,i;
complex(){}
complex(double x,double i):x(x),i(i){}
complex operator+(complex a) {return complex(x+a.x,i+a.i);}
complex operator-(complex a) {return complex(x-a.x,i-a.i);}
complex operator*(complex a) {return complex(x*a.x-i*a.i,x*a.i+i*a.x);}
}a[N],b[N];
int n,m,i,nn;
void fft(complex *a,int n,int t)
{
if (n==1) return;
complex a0[n>>1],a1[n>>1];
for (int i=0;i<n;i+=2) a0[i>>1]=a[i],a1[i>>1]=a[i+1];
fft(a0,n>>1,t);fft(a1,n>>1,t);
complex wn(cos(2*pi/n),t*sin(2*pi/n)),w(1,0);
for (int i=0;i<(n>>1);i++,w=w*wn) a[i]=a0[i]+w*a1[i],a[i+(n>>1)]=a0[i]-w*a1[i];
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));
for (i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);
for (i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].x);
nn=1;while (nn<=n+m) nn<<=1;
fft(a,nn,1);fft(b,nn,1);
for (i=0;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];
fft(a,nn,-1);
for (i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].x/nn+0.5));
}
非递归:
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<memory.h>
#define N 400010
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
struct complex{
double x,i;
complex(){}
complex(double x,double i):x(x),i(i){}
complex operator+(complex a) {return complex(x+a.x,i+a.i);}
complex operator-(complex a) {return complex(x-a.x,i-a.i);}
complex operator*(complex a) {return complex(x*a.x-i*a.i,x*a.i+i*a.x);}
}a[N],b[N];
int n,m,i,nn,len,rev[N];
void fft(complex *a,int n,int t)
{
for (int i=0;i<n;i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for (int j=1;j<n;j<<=1)
{
complex wn(cos(2*pi/(j<<1)),t*sin(2*pi/(j<<1)));
for (int i=0;i<n;i+=(j<<1))
{
complex w(1,0),t0,t1;
for (int k=0;k<j;k++,w=w*wn) t0=a[i+k],t1=w*a[i+j+k],a[i+k]=t0+t1,a[i+j+k]=t0-t1;
}
}
}
int main()
{
freopen("FFT.in","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(a,0,sizeof(a));memset(b,0,sizeof(b));
for (i=0;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);
for (i=0;i<=m;i++) scanf("%lf",&b[i].x);
nn=1;len=0;while (nn<=n+m) nn<<=1,len++;
rev[0]=0;
for (i=1;i<nn;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
fft(a,nn,1);fft(b,nn,1);
for (i=0;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];
fft(a,nn,-1);
for (i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",(int)(a[i].x/nn+0.5));
}
??非递归这里有一个翻转的函数,意在让所有数按合并时候的二叉树的叶子节点的顺序排列,不难发现翻转过来就是它的新位置。。
原文:http://blog.csdn.net/tag_king/article/details/46351821