$m$ 整除 $10^k$ 的一个充分条件

时间：2014-03-21 12:21:44 阅读：530 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

若

(1) 既约分数 $\cfrac{n}{m}$ 满足 $0<\cfrac{n}{m}<1$ ;

(2) 分数 $\cfrac{n}{m}$ 可以化为小数部分的一个循环节有 $k$ 位数字的纯循环小数, 则 $m$ 除 $10^k$ 的余数为 $1$ .

证明: 由 (2),

n m = 0. a 1 ? a k a 1 ? a k ? = a 1 10 + ? + a k 10 k + a 1 10 k + 1 + ? + a k 10 2 k + ? = (a 1 10 + ? + a k 10 k) ? (1 + 1 10 + ?) = (a 1 10 + ? + a k 10 k) ? 1 1 ? 1 10 k = (a 1 10 + ? + a k 10 k) ? 10 k 10 k ? 1 = a 1 ? 10 k ? 1 + ? + a k 10 k ? 1 .

$\beex \bea \cfrac{n}{m}&=0.a_1\cdots a_ka_1\cdots a_k\cdots\\ &=\cfrac{a_1}{10}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^k} +\cfrac{a_1}{10^{k+1}}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^{2k}}+\cdots\\ &=\sex{\cfrac{a_1}{10}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^k}}\cdot\sex{1+\cfrac{1}{10}+\cdots}\\ &=\sex{\cfrac{a_1}{10}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^k}}\cdot \cfrac{1}{1-\cfrac{1}{10^k}}\\ &=\sex{\cfrac{a_1}{10}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^k}}\cdot\cfrac{10^k}{10^k-1}\\ &=\cfrac{a_1\cdot 10^{k-1}+\cdots+a_k}{10^k-1}. \eea \eeex$ 如此,

n (10 k ? 1) = m (a 1 ? 10 k ? 1 + ? + a k) ? m ∣ n (10 k ? 1) .

$\bex n(10^k-1)=m(a_1\cdot 10^{k-1}+\cdots+a_k)\ra m\mid n(10^k-1). \eex$ 再由 (1),

m,n

$m,n$ 的最大公约数

(m,n)=1

$(m,n)=1$ , 而

m ∣ 10 k ? 1 ? 10 k ? 1 = q m ? 10 k = q m + 1.

$\bex m\mid 10^k-1\ra 10^k-1=qm\ra 10^k=qm+1. \eex$

$m$ 整除 $10^k$ 的一个充分条件,布布扣,bubuko.com

$m$ 整除 $10^k$ 的一个充分条件

原文：http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3615100.html

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