用数值分析方法做一道平面解析几何数学题

问题

看到有人问：

已知拱高10.4米的圆弧弧长36.7米，求圆的半径和圆心角（最好附带Matlab程序）。怎么限制x是锐角？

解答

顺便把三个软件都用一遍，用它们各自擅长的。实际上，这个问题而言，单独用任何一款都能画图和解方程(是的，Geogebra不但画图厉害，解这个方程也实际上顶呱呱）。

先根据大致情况推导一番（Geogebra作图）

因为$r$跟$\theta$有如下关系，只须求一个$r$即可：

$$s=r\cdot \theta$$

可以利用的关系从图上看出还有：

$$x^2=h(2r-h)$$
$$\sin{\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{x}{r}$$

由此三个关系知道：

$$x^2=r^2\sin^2\dfrac{\theta}{2}=r^2\sin^2\left(\dfrac{s}{2r}\right)$$
$$\Rightarrow f(r):=r^2\sin^2\left(\dfrac{s}{2r}\right)-h(2r-h)=0$$
或等价形式（三角函数倍角公式）：
$$\Rightarrow f(r):=2 h^2-4 h r+r^2 \left(1-\cos \left(\frac{s}{r}\right)\right)=0$$
只须求解这个关于 $r$ 的非线性方程的非负实根就可以了。通过导数判断趋势的方式是常规而严谨的方法，不过，这里就不啰嗦了，直接上图（Mathematica作图）：

Plot[f[x],{x,1,20},PlotPoints->1000,AspectRatio->1,AxesOrigin->{0,0},PlotStyle->Red,AxesStyle->Arrowheads[.035],AxesLabel->(Style[#,Bold,Italic,18,FontFamily->"TimesNewRoman"]&/@{"x","y"}),ImageSize->600,TicksStyle->Directive[{FontFamily->"Arial",Black,12}],AspectRatio->2,Ticks->{Range[21]-1,Automatic},PlotRange->{{0,18},{-80,50}}]

从图上曲线趋势以及从导数的取值和符号应可以得到满足条件的$r$有三个。可以通过数值迭代的方法通过取相应初值得到对应根的数值解。这种方程求符号解难度稍高了些，不清楚是否已经有现成的方法，但数值解是必然可以的。

比如Matlab中fsolve可以轻松得到：

s=36.7;h=10.4; 
x0=1.0;
r=fsolve(@(r)2*h^2+r^2-4*h*r-r^2*cos(s/r),x0)；
disp(num2str(r,‘%10.8lf‘))

得到：

5.32327124

s=36.7;h=10.4; 
x0=10;
r=fsolve(@(r)2*h^2+r^2-4*h*r-r^2*cos(s/r),x0);disp(num2str(r,‘%16.9f‘))

得到：

11.183055764

s=36.7;h=10.4; 
x0=18;
r=fsolve(@(r)2*h^2+r^2-4*h*r-r^2*cos(s/r),x0);disp(num2str(r,‘%16.9f‘))

得到：

13.999546228

到这里关键的问题就算解决了。

关于限制“锐角”的问题，则不在本解答范畴。因为，原问题表达非常模糊，如果问题如所问已经给出，则$\theta$有没有锐角完全取决于实际的$s$, $h$之类 的已知条件，已知条件给定的情况下，结果是无法调整的。只是讨论不同情形下的可能性。——如果是想讨论如何给定$s$,$h$才可能有锐角$\theta$的可能才有一些意义。不过就不讨论了。