题目：F(0) = 0, F(1) = 1, F(n+2) = F(n+1) + F(n)，且0<=n <= 10^16,求第n项的值。
分析：通常情况下，我们求第n项的斐波那契数是根据递推式进行递归求解，适当优化后时间复杂度为O(n)。但如果n的规模非常大时，原有算法效率显得太低。在这里给大家介绍一种比较高效的即用矩阵求解。
由递推式：F(n+1) = F(n) + F(n-1), F(n) = F(n) + 0*F(n-1)
可得如下矩阵关系（系数矩阵与变量矩阵的乘积）：
（F(n+1), F(n)）= ((1, 1), (1, 0)) * (F(n), F(n-1))
进一步可得：
(F(n+1), F(n)) = ((1, 1), (1, 0))^n * (f1, f0)
令A=（(1, 1), (1, 0)）,A^n可以通过矩阵的快速幂求解,时间复杂度为logn。
由于a*m的矩阵与m*b的矩阵相乘,时间复杂度为O(abm),故本例中总共的时间复杂度为O(8logn)。
顺带提及一下单位矩阵I的概念：主对角线为1的矩阵为单位矩阵,对于任意可做乘积的矩阵A有I*A = A。
核心代码：
mat pow(mat A, int n)//求矩阵A的n次方
{
mat B(A.size(), vec(A[0].size()));
for(int i = 0; i < A.size(); ++i)
B[i][i] = 1;
while(n > 0)
{
if(n & 1)
B = mult(B, A);//mult()两矩阵的乘积
A = mult(A, A);
n >>= 1;
}
}
原文：http://www.cnblogs.com/aizi/p/4662727.html