实变函数复习重点
一、重要概念
1：$Cantor$三分集：
（1）它是完备集，无孤立点；
（2）它没有内点，是舒朗集合；
（3）它的测度为0；
（4）它的基数为$c$:
2：测度：
设$E$是${{R}^{n}}$中任一点集，对于每一列覆盖$E$的开区间$\underset{i=1}{\overset{\infty }{\mathop{\bigcup }}}\,{{I}_{i}}\supset E$，作出它的体积总和
$\mu =\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\left| {{I}_{i}} \right|}$（$\mu $可以等于$+\infty $，不同的区间列一般有不同的$\mu $），所有这一切的$\mu $组成一个下方有界的数集，它的下确界（完全由$E$确定）称为$E$的$Lebesgue$外测度，简称$L$测度或外测度，记为${{m}^{*}}E$，即${{m}^{*}}E=\underset{E\subset \underset{i=1}{\overset{\infty }{\mathop{\bigcup }}}\,{{I}_{i}}}{\mathop{\inf }}\,\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\left| {{I}_{i}} \right|}$
3：可测
设$E$是${{R}^{n}}$中点集，如果对任一点集$T$都有${{m}^{*}}T={{m}^{*}}(T\bigcap E)+{{m}^{*}}(T\bigcap {{E}^{c}})$，则称$E$是$L$可测的。
4：可测函数
设$f(x)$是定义在可测集$E\subset {{R}^{n}}$的实函数，如果对于任何有限实数$a$，$E[f>a]$都是可测集，则称$f(x)$是定义在$E$上的可测函数。
5：依测度收敛
设$\{{{f}_{n}}\}$是$E\subset {{R}^{n}}$上的一列$a.e.$有限的可测函数，若有$E$上$a.e.$有限的可测函数$f(x)$满足下列关系：对任意的$\delta >0$，有$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,mE[\left| {{f}_{n}}-f \right|\ge \delta ]=0$，则称函数列$\{{{f}_{n}}\}$依测度收敛于
$f$，记为${{f}_{n}}(x)\Rightarrow f(x)$
6：非负简单函数$Lebesgue$积分：
设$E\subset {{R}^{n}}$为可测集，$\varphi (x)$为$E$上的一个非负简单函数，即$E$表示为有限个互不相交的可测集${{E}_{1}},{{E}_{2}},\cdots ,{{E}_{k}}$之并，而在每个${{E}_{i}}$上$\varphi (x)$取非负常数值${{c}_{i}}$，也就是说
$\varphi (x)=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{c}_{i}}}{{\chi }_{{{E}_{i}}}}(x)$，这里${{\chi }_{{{E}_{i}}}}(x)$是${{E}_{i}}$上的特征函数，记$\int_{E}{\varphi (x)dx=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{c}_{i}}}}m{{E}_{i}}$
二、重要定理
1：$Eropob$定理（一致收敛）
设$m(E)<\infty $，$\{{{f}_{n}}\}$是$E$上一列$a.e.$收敛于一个$a.e.$有限的函数$f$的可测函数，则对任意的
$\delta >0$，存在${{E}_{\delta }}\subset E$，使$\{{{f}_{n}}\}$在${{E}_{\delta }}$上一致收敛，且$m(E\backslash {{E}_{\delta }})=0$
注意：$mE=\infty $时不成立，而逆定理当$m(E)<\infty $和$mE=\infty $时都成立
2：$JIy\Im HH$定理（连续）
设$f(x)$是$E$上$a.e.$有限的可测函数，则对任意的$\delta >0$，存在闭子集${{F}_{\delta }}\subset E$，使得$f(x)$在
${{F}_{\delta }}$上是连续函数，且$m(E\backslash {{F}_{\delta }})=0$
注意：其逆定理也成立
3：$F.Riesz$定理（致密性原理）
设在$E$上$\{{{f}_{n}}\}$依测度收敛于$f$，则存在子列$\{{{f}_{{{n}_{i}}}}\}$在$E$上$a.e.$收敛于$f$
4：$Lebesgue$定理
设
（1）$mE<\infty $；
（2）$\{{{f}_{n}}\}$在$E$上$a.e.$有限的可测函数列；
（3）$\{{{f}_{n}}\}$在$E$上$a.e.$收敛于$a.e.$有限的函数$f$
则${{f}_{n}}(x)\Rightarrow f(x)$
注意：$mE<\infty $不能去掉，反例：
$E = (0, + \infty ),$$
{f_n}(x) = \left\{\begin{array}{ll}
1, &
\hbox{$x \in (0,n]$;} \\
0, & \hbox{$x \in (n, + \infty
)$.}
\end{array}
\right.$，$n = 1,2, \cdots $
5：$Levi$定理（积分与极限换序）
设$E\subset {{R}^{q}}$为可测集，$\{{{f}_{n}}\}_{n=1}^{\infty }$为$E$的一列非负可测函数，当$x\in E$时对于任一自然数$n$，有
6：$Fatou$引理
设$E\subset {{R}^{q}}$为可测集，$\{{{f}_{n}}\}_{n=1}^{\infty }$为$E$的一列非负可测函数，则
注意：不能把“$\le $”改为“$=$”，如$
{f_n}(x) = \left\{
7：$Lebesgue$控制收敛定理（与$Levi$定理类似）
设$E\subset {{R}^{q}}$为可测集，$\{{{f}_{n}}\}_{n=1}^{\infty }$为$E$的一列非负可测函数，$F$是$E$上的非负$L$可积函数，如果对于任意的自然数$n$，$\left| {{f}_{n}}(x) \right|\le F(x)
（1）$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{E}{\left| {{f}_{n}}(x)-f(x) \right|}dx=0$
（2）$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{E}{{{f}_{n}}(x)dx}=\int_{E}{f(x)dx}$
8：$Riemann$可积和$Lebesgue$可积之间的关系
设$f(x)$是$[a,b]$上的一个有界函数，若$f(x)$在$[a,b]$上$Riemann$可积，则$f(x)$在$[a,b]$上
$Lebesgue$可积，且$(L)\int_{[a,b]}{f(x)dx}=(R)\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
注意：反之不成立，如$
f(x) = \left\{
9：$Fubini$定理（化二重积分为重积分）
（1）设$f(P)=f(x,y)$在$A\times B\subset {{R}^{p+q}}$（$A,B$分别是${{R}^{p}}$和${{R}^{q}}$中之可测集）上非负可测，则对$a.e.$的$x\in A$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可测，且
$\int_{A\times B}{f(P)dP=\int_{A}{dx\int_{B}{f(x,y)dy}}}$
（2）设$f(P)=f(x,y)$在$A\times B\subset {{R}^{p+q}}$上可积，则对$a.e.$的$x\in A$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可积，又$\int_{B}{f(x,y)dy}$作为$x$的函数在$A$上可积，且
$\int_{A\times B}{f(P)dP=\int_{A}{dx\int_{B}{f(x,y)dy}}}$
原文：http://www.cnblogs.com/Colgatetoothpaste/p/3675448.html